प्राचीन काल में गुणन की विधियाँ। गुणन के असामान्य तरीके. हिंदू विरासत

अगाफुरोव मैक्सिम

एक छात्र के शोध पत्र की समीक्षा.

शोध कार्य एमबीओयू "माध्यमिक विद्यालय नंबर 2" के कक्षा 7 "ए" के छात्र मैक्सिम अगाफुरोव द्वारा किया गया था।
अनुसंधान नेता: गणित शिक्षक – लुक्यानोवा ओ.ए.
विषय: "गुणन की असामान्य विधियाँ।" कार्य का प्रकार: सार. यह कार्य आज भी प्रासंगिक है, क्योंकि सभी सबसे अधिक श्रम-गहन कंप्यूटिंग प्रक्रियाओं के पूर्ण मशीनीकरण के साथ भी मानसिक गणना के सरलीकृत तरीकों का ज्ञान आवश्यक रहता है। मानसिक गणना न केवल मानसिक गणनाओं को शीघ्रता से निष्पादित करना संभव बनाती है, बल्कि कैलकुलेटर का उपयोग करके की गई गणनाओं के परिणामों में त्रुटियों की निगरानी, मूल्यांकन, पता लगाना और उन्हें ठीक करना भी संभव बनाती है। इसके अलावा, कम्प्यूटेशनल कौशल में महारत हासिल करने से स्मृति विकसित होती है और स्कूली बच्चों को भौतिकी और गणित विषयों में पूरी तरह से महारत हासिल करने में मदद मिलती है।
कार्य का अनुसंधान भाग पूरा हो चुका है। इन उदाहरणों के लिए स्पष्टीकरण प्रस्तुत किए गए हैं और उचित निष्कर्ष निकाले गए हैं।
वैज्ञानिक के लक्ष्य और उद्देश्य अनुसंधान कार्यसही ढंग से तैयार किया गया है और बताए गए विषय के अनुरूप है।
विशिष्ट साहित्य का पर्याप्त गहराई के साथ गुणात्मक अध्ययन किया गया है।
शोध कार्य के निष्कर्ष तार्किक एवं सैद्धान्तिक रूप से उचित हैं।
कार्य अनुसंधान भाग को पर्याप्त स्तर पर प्रस्तुत करता है। उसका विवरण निष्कर्षों से मेल खाता है। अधिकांश कार्य बड़े पैमाने पर स्वतंत्र रूप से किया गया था, पर्यवेक्षक के थोड़े से मार्गदर्शन और इनपुट के साथ।

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पूर्व दर्शन:


परिचय
बहुअंकीय संख्याओं को गुणा करने के तरीके
1.1. "ईर्ष्या, या जाली गुणन"…………………………..4


1.2. "रूसी किसान रास्ता"………………………………5 1.3. "गुणन का चीनी तरीका"……………………………………6
अनुसंधान भाग.
2.1. किसी भी दो अंकीय संख्या का वर्ग निकालना……………………6 2.2. "गोल" के करीब एक संख्या का वर्ग…………………………7
2.4. 40 से 60 तक की संख्याओं का वर्ग करने का एक नया तरीका………………7 2.5. 5……………8 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग निकालना 2.6 1………………8 से समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग करना 2.7. 6………………8 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग निकालना 2.8. 9……………8 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग निकालना 2.9. 4………………8 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग निकालना निष्कर्ष। ग्रंथ सूची.

परिचय " गिनती और गणना –

सिर में व्यवस्था की मूल बातें।"

जोहान हेनरिक पेस्टलोज़ी (1746 - 1827)

जो कोई भी बचपन से गणित का अध्ययन करता है, उसमें ध्यान विकसित होता है, अपने मस्तिष्क, अपनी इच्छाशक्ति को प्रशिक्षित करता है और लक्ष्यों को प्राप्त करने में दृढ़ता और दृढ़ता विकसित करता है।

प्रासंगिकता: गणित पृथ्वी पर सबसे महत्वपूर्ण विज्ञानों में से एक है और एक व्यक्ति अपने जीवन में हर दिन इसका सामना करता है। मानसिक अंकगणित गणना की सबसे प्राचीन एवं सरल विधि है। सभी सबसे अधिक श्रम-गहन कंप्यूटिंग प्रक्रियाओं के पूर्ण मशीनीकरण के साथ भी मानसिक गणना के सरलीकृत तरीकों का ज्ञान आवश्यक रहता है। मानसिक गणना न केवल मानसिक गणनाओं को शीघ्रता से निष्पादित करना संभव बनाती है, बल्कि कैलकुलेटर का उपयोग करके की गई गणनाओं के परिणामों में त्रुटियों की निगरानी, मूल्यांकन, पता लगाना और उन्हें ठीक करना भी संभव बनाती है। इसके अलावा, कम्प्यूटेशनल कौशल में महारत हासिल करने से स्मृति विकसित होती है और स्कूली बच्चों को भौतिकी और गणित विषयों में पूरी तरह से महारत हासिल करने में मदद मिलती है।

किसी व्यक्ति के लिए रोजमर्रा की जिंदगी में गणनाओं के बिना काम करना असंभव है। इसलिए गणित के पाठों में सबसे पहले हमें संख्याओं पर संक्रियाएँ करना अर्थात् गिनती करना सिखाया जाता है। हम स्कूल में सीखे जाने वाले सामान्य तरीकों से गुणा, भाग, जोड़ और घटाव करते हैं।

मैं सोच रहा था कि क्या गणना की कोई अन्य विधियाँ हैं? यह पता चला कि आप न केवल उस तरीके से गुणा कर सकते हैं जो हमें गणित की पाठ्यपुस्तकों में पेश किया जाता है, बल्कि एक अलग तरीके से भी किया जा सकता है। ऑनलाइन संसाधनों का उपयोग करके, मैंने गुणा करने के कई असामान्य तरीके सीखे। आख़िरकार, शीघ्रता से गणना करने की क्षमता स्पष्ट रूप से आश्चर्यजनक है।

इस अध्ययन का उद्देश्य :

यथासंभव अधिक से अधिक असामान्य गणना विधियाँ खोजें।
उनका उपयोग करना सीखें.
स्कूल में दी जाने वाली पेशकशों की तुलना में अपने लिए सबसे दिलचस्प चीज़ें चुनें और गिनती करते समय उनका उपयोग करें।

अनुसंधान के उद्देश्य:

1. गुणन की प्राचीन विधियों से परिचित हों, जैसे: "ईर्ष्या, या जाली गुणन", "छोटा महल", "रूसी किसान विधि", "रैखिक विधि"।

2. मौखिक रूप से संख्याओं का वर्ग करने की तकनीकों का अन्वेषण करें और उन्हें व्यवहार में लागू करें।

इतिहास का हिस्सा।

गणना की जो विधियाँ हम अब उपयोग करते हैं वे हमेशा इतनी सरल और सुविधाजनक नहीं थीं। पुराने दिनों में अधिक बोझिल और धीमी तकनीकों का उपयोग किया जाता था। और यदि 21वीं सदी का कोई स्कूली बच्चा पाँच शताब्दियों पीछे की यात्रा कर सके, तो वह अपनी गणनाओं की गति और सटीकता से हमारे पूर्वजों को आश्चर्यचकित कर देगा। उनके बारे में अफवाहें आसपास के स्कूलों और मठों में फैल गई होंगी, जिससे उस युग के सबसे कुशल कैलकुलेटर की महिमा खराब हो जाएगी, और लोग नए महान गुरु के साथ अध्ययन करने के लिए हर जगह से आएंगे।

पुराने दिनों में गुणा और भाग की संक्रियाएँ विशेष रूप से कठिन थीं। तब प्रत्येक क्रिया के लिए अभ्यास द्वारा कोई एक विधि विकसित नहीं थी।इसके विपरीत, एक ही समय में गुणन और भाग की लगभग एक दर्जन अलग-अलग विधियाँ उपयोग में थीं - एक से बढ़कर एक जटिल तकनीकें, जिन्हें औसत क्षमता वाला व्यक्ति याद नहीं रख पाता था। गिनती का प्रत्येक शिक्षक अपनी पसंदीदा तकनीक पर अड़ा रहा, प्रत्येक "विभाजन के मास्टर" (ऐसे विशेषज्ञ थे) ने इस क्रिया को करने के अपने तरीके की प्रशंसा की।गणित के विकास के सहस्राब्दियों के दौरान, गुणन की कई विधियों का आविष्कार किया गया है। गुणन सारणी के अलावा, वे सभी बोझिल, जटिल और याद रखने में कठिन हैं। ऐसा माना जाता था कि तेजी से गुणन की कला में महारत हासिल करने के लिए एक विशेष प्राकृतिक प्रतिभा की आवश्यकता होती है। आम लोगों कोजिन लोगों के पास कोई विशेष गणितीय प्रतिभा नहीं थी, उनके लिए यह कला दुर्गम थी।

और गुणन की ये सभी विधियाँ - "शतरंज या अंग", "फोल्डिंग", "क्रॉस", "जाली", "पीछे से आगे", "हीरा" और अन्य एक-दूसरे के साथ प्रतिस्पर्धा करती थीं और बड़ी कठिनाई से सीखी जाती थीं।

आइए गुणन के सबसे दिलचस्प और सरल तरीकों पर नजर डालें।

1.1. "ईर्ष्या, या जाली गुणन"

15वीं सदी के इतालवी गणितज्ञ लुका पैसिओली ने गुणा करने के 8 तरीके दिए हैं। मेरी राय में, उनमें से सबसे दिलचस्प हैं "ईर्ष्या या जाली गुणन" और "छोटा महल"।

आइए 347 को 29 से गुणा करें।

एक आयत बनाएं, इसे वर्गों में विभाजित करें, वर्गों को तिरछे विभाजित करें। परिणाम वेनिस के घरों के जाली शटर के समान एक तस्वीर है। यहीं से विधि का नाम आता है।

तालिका के शीर्ष पर हम संख्या 347 लिखते हैं, और दाईं ओर ऊपर से नीचे तक - 29

प्रत्येक वर्ग में हम इस वर्ग के साथ एक पंक्ति और एक स्तंभ में स्थित संख्याओं का गुणनफल दर्ज करते हैं। दहाई ऊपरी त्रिभुज में स्थित हैं, और इकाइयाँ निचले त्रिभुज में स्थित हैं। प्रत्येक विकर्ण पर संख्याएँ जोड़ी जाती हैं। परिणाम तालिका के बाएँ और दाएँ लिखे गए हैं।

उत्तर 10063 है.

इस पद्धति का नुकसान यह है कि इसमें आयताकार तालिका बनाने में काफी मेहनत लगती है, जबकि गुणन की प्रक्रिया अपने आप में दिलचस्प है और तालिका को भरना एक खेल जैसा लगता है।

1.2. "रूसी किसान रास्ता"

रूस में, किसानों के बीच एक ऐसी विधि आम थी जिसके लिए संपूर्ण गुणन सारणी के ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती थी। आपको बस संख्याओं को 2 से गुणा और विभाजित करने की क्षमता की आवश्यकता है।

हम एक पंक्ति में एक संख्या बाईं ओर और दूसरी दाईं ओर लिखेंगे। हम बाईं संख्या को 2 से विभाजित करेंगे, और दाईं संख्या को 2 से गुणा करेंगे और परिणाम को एक कॉलम में लिखेंगे। यदि विभाजन के दौरान कोई शेष बचता है तो उसे हटा दिया जाता है। 2 से गुणा और भाग तब तक जारी रहता है जब तक बाईं ओर 1 शेष न रह जाए।

फिर हम उस कॉलम से उन पंक्तियों को काट देते हैं जिनमें बायीं ओर सम संख्याएँ होती हैं। अब बचे हुए नंबरों को दाएं कॉलम में जोड़ें।

उत्तर है 1972026.

1.3.गुणन की चीनी विधि.

अब आइए उस गुणन विधि की कल्पना करें, जिसकी इंटरनेट पर जोरदार चर्चा है, जिसे चीनी विधि कहा जाता है। संख्याओं को गुणा करते समय, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की गणना की जाती है, जो दोनों कारकों के प्रत्येक अंक के अंकों की संख्या के अनुरूप होती है।

कागज की एक शीट पर हम एक-एक करके रेखाएँ खींचते हैं, जिनकी संख्या इस उदाहरण से निर्धारित होती है।

पहले 32: 3 लाल रेखाएँ और थोड़ा नीचे - 2 नीली। फिर 21: पहले से खींचे गए लोगों के लंबवत, पहले 2 हरे रंग वाले बनाएं, फिर 1 लाल रंग का. महत्वपूर्ण: पहली संख्या की रेखाएँ ऊपरी बाएँ कोने से नीचे दाईं ओर की दिशा में खींची जाती हैं, दूसरी संख्या की रेखाएँ - निचले बाएँ से ऊपरी दाएँ तक की दिशा में खींची जाती हैं. फिर हम तीनों क्षेत्रों में से प्रत्येक में प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या गिनते हैं (चित्र में, क्षेत्रों को वृत्तों के रूप में दर्शाया गया है)। तो, पहले क्षेत्र (सैकड़ों क्षेत्र) में 6 अंक हैं, दूसरे (दस क्षेत्र) में - 7 अंक, तीसरे (इकाई क्षेत्र) में - 2 अंक। इसलिए, उत्तर 672 है।

2. अनुसंधान भाग

तेजी से गिनती करने की तकनीक से याददाश्त विकसित होती है। यह न केवल गणित पर लागू होता है, बल्कि स्कूल में पढ़ाई जाने वाले अन्य विषयों पर भी लागू होता है।

मैं कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना मौखिक रूप से संख्याओं का वर्ग करने के तरीकों को भी कार्य में जोड़ना चाहूंगा और, जो जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याओं को हल करते समय आवश्यक है, एक अच्छा मानसिक प्रशिक्षण भी है।

ए आइए अब कुछ दिलचस्प बातों पर चलते हैं और मुझे मौखिक रूप से संख्याओं का वर्ग करने के तरीके पसंद आए,बीजगणित और ज्यामिति पाठों में उपयोग किया जाता है।

2.1. किसी भी दो अंकीय संख्या का वर्ग निकालना।

यदि आप 1 से 25 तक की सभी संख्याओं का वर्ग याद कर लें तो 25 से बड़ी किसी भी दो अंकीय संख्या का वर्ग निकालना आसान हो जाता है।

किसी भी दो अंकों की संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या और 25 के बीच के अंतर को 100 से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पाद में दी गई संख्या के पूरक के वर्ग को 50 या इसके अतिरिक्त के वर्ग को जोड़ना होगा। 50.

आइए एक उदाहरण देखें:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(एम-25)*100+ (50-एम) 2 =100एम-2500+2500-100एम+एम 2 =एम 2।

2.2.एक संख्या का वर्ग जो "गोल" के करीब है।

चर्चा किए गए उदाहरणों में वर्गों की गणना सूत्र पर आधारित है

ए² = (ए + बी) (ए - बी) + बी²,

जिसमें अंकों का सफल चयन हुआवी गणनाओं को बहुत सरल बनाता है: सबसे पहले, कारकों में से एक "गोल" संख्या होनी चाहिए (यह वांछनीय है कि केवल पहला अंक गैर-शून्य हो), दूसरे, संख्या स्वयंवी आसानी से वर्गाकार होना चाहिए, यानी छोटा होना चाहिए। इन स्थितियों को सटीक रूप से संख्याओं में महसूस किया जाता हैए , "गोल" के करीब।

192² = 200*184 + 8² = 36864, / (192+8)(192-8)+ 8²/

412² = 400*424 + 12² = 169744, /(412-12)(412+12)+ 12²/

2.3. 40 से 50 तक संख्याओं का वर्ग करना।

2.4. 50 से 60 तक संख्याओं का वर्ग करना।

छठे दस की संख्या का वर्ग करने के लिए (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
आपको इकाइयों की संख्या में 25 जोड़ना होगा और इस योग में इकाइयों की संख्या का वर्ग जोड़ना होगा।
उदाहरण के लिए:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. 5 से समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग निकालना.

दहाई की संख्या को दहाई की अगली संख्या से गुणा करें और 25 जोड़ें।

15*15 = 10*20+ 25=225 या (1*2 और दाईं ओर 25 जोड़ें)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 और दाईं ओर 25 जोड़ें)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 और दाईं ओर 25 जोड़ें)

2.6. 1 से समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग.

1 से समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग करते समय, आपको इस इकाई को 0 से बदलना होगा, नई संख्या का वर्ग करना होगा, और इस वर्ग में मूल संख्या और 1 को 0 से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त संख्या को जोड़ना होगा।

उदाहरण संख्या 6. 71 2 = ?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. 6 से समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग.

6 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग करते समय, आपको 6 को 5 से बदलना होगा, नई संख्या का वर्ग करना होगा (जैसा कि पहले बताया गया है) और इस वर्ग में मूल संख्या और 6 को 5 से बदलने पर प्राप्त संख्या को जोड़ना होगा।

उदाहरण संख्या 7. 56 2=?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8.9 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग।

9 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग करते समय, आपको इस अंक 9 को 0 से बदलना होगा (हमें अगली प्राकृतिक संख्या मिलती है), नई संख्या का वर्ग करना होगा और इस वर्ग से मूल संख्या और 9 को 0 से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त संख्या को घटाना होगा।

उदाहरण संख्या 8. 59 2=?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9.4 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग।

4 से समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग करते समय, आपको अंक 4 को 5 से बदलना होगा, नई संख्या का वर्ग करना होगा, और इस वर्ग से मूल संख्या और 4 को 5 से बदलने पर प्राप्त संख्या को घटाना होगा।

उदाहरण क्रमांक 9.84 2=?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. वर्ग करते समय अक्सर सूत्र (ए) का उपयोग करना सुविधाजनक होता हैबी) 2 =ए 2 +बी 2 2एबी।

उदाहरण संख्या 10.

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

निष्कर्ष

शोध कार्य करते समय, मुझे न केवल मेरे पास मौजूद ज्ञान की आवश्यकता थी, बल्कि अतिरिक्त साहित्य के साथ आवश्यक कार्य की भी आवश्यकता थी।

1. अपने काम के दौरान, मैंने बहु-अंकीय संख्याओं को गुणा करने के विभिन्न तरीकों को खोजा और उनमें महारत हासिल की और मैं निम्नलिखित बता सकता हूँ - बहु-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की अधिकांश विधियाँ गुणन तालिका के ज्ञान पर आधारित हैं।

"जाली गुणन" विधि आम तौर पर स्वीकृत विधि से भी बदतर नहीं है। यह और भी सरल है, क्योंकि संख्याओं को गुणन सारणी से सीधे तालिका की कोशिकाओं में दर्ज किया जाता है, बिना एक साथ जोड़ के। मानक विधि;

- गुणन की "रूसी किसान" विधि पहले चर्चा की गई विधियों की तुलना में बहुत सरल है। लेकिन यह बहुत भारी भी है.

गिनती के जितने भी असामान्य तरीके मुझे मिले, उनमें से "जाली गुणन या ईर्ष्या" विधि अधिक दिलचस्प लगी। मैंने इसे अपने सहपाठियों को दिखाया और उन्हें भी यह बहुत पसंद आया।

मुझे सबसे सरल विधि गुणन की चीनी विधि लगी, जिसका उपयोग चीनियों द्वारा किया जाता था, क्योंकि इसमें गुणन तालिका के ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। प्रस्तुत सभी तरीकों से गिनना सीखने के बाद, मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि सबसे सरल तरीके वे हैं जो हम स्कूल में पढ़ते हैं, शायद वे हमारे लिए अधिक परिचित हैं।

2. मैंने कुछ मानसिक गणना तकनीकें सीखीं जो मुझे जीवन में मदद करेंगी। मुझे इस प्रोजेक्ट पर काम करने में बहुत दिलचस्पी थी। मैंने गुणन के वे तरीके सीखे जो मेरे लिए नए थे, और संख्याओं का वर्ग करने की विभिन्न तकनीकों को देखा। कई गणनाओं में संक्षिप्त गुणन सूत्र शामिल होते हैं जो मैंने बीजगणित कक्षा में सीखे थे। सरलीकृत मानसिक गणना तकनीकों का उपयोग करके, मैं अब कैलकुलेटर या कंप्यूटर के उपयोग के बिना सबसे अधिक समय लेने वाली अंकगणितीय परिचालन कर सकता हूं। न केवल मुझे, बल्कि मेरे माता-पिता को भी इसमें दिलचस्पी हो गई। मैंने अपने दोस्तों और सहपाठियों को मौखिक गुणन तकनीक दिखायी। सरलीकृत मानसिक गणना तकनीकों का ज्ञान उन मामलों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जहां आपके पास टेबल या कैलकुलेटर नहीं है। मुझे इस काम को जारी रखने और अधिक मानसिक गणना तकनीकों को सीखने की इच्छा थी। मुझे लगता है कि मेरा काम मेरे लिए व्यर्थ नहीं जाएगा, मैं राज्य परीक्षा और एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करते समय प्राप्त सभी ज्ञान का उपयोग कर सकूंगा।

डोंस्कॉय, 2013

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"गिनती और गणना मस्तिष्क में क्रम का आधार हैं।"
Pestalozzi

लक्ष्य:

प्राचीन गुणन तकनीक सीखें.
विभिन्न गुणन तकनीकों के बारे में अपने ज्ञान का विस्तार करें।
गुणन की प्राचीन विधियों का उपयोग करके प्राकृतिक संख्याओं के साथ संक्रिया करना सीखें।

अपनी उंगलियों पर 9 से गुणा करने का पुराना तरीका
फेरोल विधि द्वारा गुणन।
गुणन का जापानी तरीका.
गुणन का इतालवी तरीका ("ग्रिड")
गुणन की रूसी विधि.
गुणा करने का भारतीय तरीका.

पाठ प्रगति

तेजी से गिनती तकनीकों का उपयोग करने की प्रासंगिकता.

आधुनिक जीवन में, प्रत्येक व्यक्ति को अक्सर बड़ी संख्या में गणनाएँ और गणनाएँ करनी पड़ती हैं। इसलिए, मेरे काम का लक्ष्य गिनती के आसान, तेज और सटीक तरीके दिखाना है, जो न केवल आपको किसी भी गणना के दौरान मदद करेगा, बल्कि परिचितों और साथियों के बीच काफी आश्चर्य का कारण बनेगा, क्योंकि गिनती कार्यों का मुफ्त प्रदर्शन काफी हद तक संकेत दे सकता है। आपकी बुद्धि की असाधारण प्रकृति. कंप्यूटिंग संस्कृति का एक मूलभूत तत्व जागरूक और मजबूत कंप्यूटिंग कौशल है। कंप्यूटिंग संस्कृति विकसित करने की समस्या प्राथमिक कक्षा से शुरू होकर पूरे स्कूल गणित पाठ्यक्रम के लिए प्रासंगिक है, और इसके लिए न केवल कंप्यूटिंग कौशल में महारत हासिल करने की आवश्यकता है, बल्कि विभिन्न स्थितियों में उनका उपयोग करना भी आवश्यक है। अध्ययन की जा रही सामग्री में महारत हासिल करने के लिए कम्प्यूटेशनल कौशल का होना बहुत महत्वपूर्ण है और व्यक्ति को मूल्यवान कार्य गुण विकसित करने की अनुमति देता है: किसी के काम के प्रति एक जिम्मेदार रवैया, काम में हुई त्रुटियों का पता लगाने और उन्हें ठीक करने की क्षमता, किसी कार्य का सावधानीपूर्वक निष्पादन, एक रचनात्मक काम के प्रति रवैया. हालाँकि, हाल ही में कम्प्यूटेशनल कौशल और अभिव्यक्ति के परिवर्तन के स्तर में गिरावट की प्रवृत्ति देखी गई है, छात्र गणना करते समय बहुत सारी गलतियाँ करते हैं, कैलकुलेटर का तेजी से उपयोग करते हैं, और तर्कसंगत रूप से नहीं सोचते हैं, जो शिक्षा की गुणवत्ता और गणितीय के स्तर को नकारात्मक रूप से प्रभावित करता है। सामान्यतः छात्रों का ज्ञान. कंप्यूटिंग संस्कृति के घटकों में से एक है मौखिक गिनती, जो बहुत महत्वपूर्ण है। "सिर में" सरल गणनाएँ जल्दी और सही ढंग से करने की क्षमता प्रत्येक व्यक्ति के लिए आवश्यक है।

संख्याओं को गुणा करने के प्राचीन तरीके.

1. अपनी उंगलियों पर 9 से गुणा करने का पुराना तरीका

यह आसान है। 1 से 9 तक की किसी भी संख्या को 9 से गुणा करने के लिए अपने हाथों को देखें। उस उंगली को मोड़ें जो गुणा की जा रही संख्या से मेल खाती है (उदाहरण के लिए, 9 x 3 - तीसरी उंगली को मोड़ें), मुड़ी हुई उंगली से पहले उंगलियों को गिनें (9 x 3 के मामले में, यह 2 है), फिर मोड़ने के बाद गिनें उंगली (हमारे मामले में, 7)। उत्तर 27 है.

2. फेरोल विधि द्वारा गुणन।

पुनर्गुणन के उत्पाद की इकाइयों को गुणा करने के लिए, गुणनखंडों की इकाइयों को गुणा किया जाता है; दहाई प्राप्त करने के लिए, एक की दहाई को दूसरे की इकाइयों से गुणा किया जाता है और इसके विपरीत और परिणाम जोड़े जाते हैं; सैकड़ों प्राप्त करने के लिए, दहाई को जोड़ा जाता है गुणा किया हुआ। फेरोल विधि का उपयोग करके, दो अंकों की संख्याओं को 10 से 20 तक मौखिक रूप से गुणा करना आसान है।

उदाहरण के लिए: 12x14=168

a) 2x4=8, 8 लिखें

बी) 1x4+2x1=6, 6 लिखें

ग) 1x1=1, 1 लिखें।

3. गुणन का जापानी तरीका

यह तकनीक एक कॉलम से गुणा करने की याद दिलाती है, लेकिन इसमें काफी लंबा समय लगता है।

तकनीक का उपयोग करना. मान लीजिए कि हमें 13 को 24 से गुणा करना है। आइए निम्नलिखित आंकड़ा बनाएं:

इस चित्र में 10 रेखाएँ हैं (संख्या कोई भी हो सकती है)

ये रेखाएँ संख्या 24 (2 रेखाएँ, इंडेंट, 4 रेखाएँ) दर्शाती हैं
और ये रेखाएं संख्या 13 (1 रेखा, इंडेंट, 3 रेखाएं) दर्शाती हैं

(आकृति में चौराहों को बिंदुओं द्वारा दर्शाया गया है)

क्रॉसिंग की संख्या:

ऊपरी बायां किनारा: 2
निचला बायां किनारा: 6
शीर्ष दाएँ: 4
नीचे दाएँ: 12

1) ऊपरी बाएँ किनारे में अंतर्विरोध (2) - उत्तर की पहली संख्या

2) निचले बाएँ और ऊपरी दाएँ किनारों के प्रतिच्छेदन का योग (6+4) - उत्तर की दूसरी संख्या

3) निचले दाएं किनारे में अंतर्विरोध (12) - उत्तर का तीसरा नंबर।

यह पता चला है: 2; 10; 12.

क्योंकि अंतिम दो संख्याएँ दो-अंकीय हैं और हम उन्हें लिख नहीं सकते हैं, इसलिए हम केवल एक लिखते हैं और पिछले एक में दहाई जोड़ते हैं।

4. गुणन का इतालवी तरीका ("ग्रिड")

इटली के साथ-साथ कई पूर्वी देशों में भी इस पद्धति ने काफी लोकप्रियता हासिल की है।

तकनीक का उपयोग करना:

उदाहरण के लिए, आइए 6827 को 345 से गुणा करें।

1. एक वर्गाकार ग्रिड बनाएं और एक संख्या कॉलम के ऊपर और दूसरी ऊंचाई में लिखें।

2. प्रत्येक पंक्ति की संख्या को प्रत्येक कॉलम की संख्या से क्रमिक रूप से गुणा करें।

6*3 = 18. 1 और 8 लिखें
8*3 = 24. 2 और 4 लिखें

यदि गुणा करने पर एक अंकीय संख्या प्राप्त होती है, तो शीर्ष पर 0 और सबसे नीचे यह संख्या लिखें।

(जैसा कि हमारे उदाहरण में, 2 को 3 से गुणा करने पर हमें 6 प्राप्त हुआ। हमने ऊपर 0 और नीचे 6 लिखा)

3. संपूर्ण ग्रिड भरें और विकर्ण पट्टियों के बाद संख्याओं को जोड़ें। हम दाएँ से बाएँ मोड़ना शुरू करते हैं। यदि एक विकर्ण के योग में दहाई होती है, तो उन्हें अगले विकर्ण की इकाइयों में जोड़ें।

उत्तर: 2355315.

5. गुणन की रूसी विधि.

इस गुणन तकनीक का उपयोग लगभग 2-4 शताब्दी पहले रूसी किसानों द्वारा किया गया था, और इसे प्राचीन काल में विकसित किया गया था। इस विधि का सार यह है: "जितना हम पहले कारक को विभाजित करते हैं, हम दूसरे को उतना ही गुणा करते हैं।" यहां एक उदाहरण है: हमें 32 को 13 से गुणा करना होगा। इस प्रकार हमारे पूर्वजों ने इस उदाहरण 3 को हल किया होगा। -4 शताब्दी पहले:

32 * 13 (32 को 2 से विभाजित करें, और 13 को 2 से गुणा करें)
16*26 (16 को 2 से विभाजित करें, और 26 को 2 से गुणा करें)
8*52 (आदि)
4 * 104
2 * 208
1 * 416 =416

आधे में विभाजित करना तब तक जारी रहता है जब तक कि भागफल 1 तक न पहुँच जाए, साथ ही दूसरी संख्या को दोगुना कर दिया जाता है। अंतिम दोगुनी संख्या वांछित परिणाम देती है। यह समझना मुश्किल नहीं है कि यह विधि किस पर आधारित है: यदि एक कारक को आधा कर दिया जाए और दूसरे को दोगुना कर दिया जाए तो उत्पाद नहीं बदलता है। इसलिए, यह स्पष्ट है कि इस ऑपरेशन को बार-बार दोहराने के परिणामस्वरूप वांछित उत्पाद प्राप्त होता है

हालाँकि, यदि आपको किसी विषम संख्या को आधा भाग करना हो तो आपको क्या करना चाहिए? लोक पद्धति इस कठिनाई को आसानी से दूर कर देती है। नियम के अनुसार, यह आवश्यक है कि विषम संख्या के मामले में, एक को हटा दें और शेष को आधे में विभाजित करें; लेकिन फिर दाएं कॉलम की अंतिम संख्या में आपको इस कॉलम की उन सभी संख्याओं को जोड़ना होगा जो बाएं कॉलम की विषम संख्याओं के विपरीत हैं: योग आवश्यक उत्पाद होगा। व्यवहार में, यह इस तरह से किया जाता है कि सम बायीं संख्याओं वाली सभी पंक्तियाँ काट दी जाती हैं; केवल वे ही बचे हैं जिनमें बायीं ओर एक विषम संख्या है। यहां एक उदाहरण दिया गया है (तारांकन इंगित करता है कि इस रेखा को काट दिया जाना चाहिए):

19*17
4 *68*
2 *136*
1 *272

बिना काटे संख्याओं को जोड़ने पर, हमें पूरी तरह से सही परिणाम मिलता है:

17 + 34 + 272 = 323.

उत्तर: 323.

6. गुणा करने का भारतीय तरीका.

गुणन की इस पद्धति का प्रयोग प्राचीन भारत में किया जाता था।

उदाहरण के लिए, 793 को 92 से गुणा करने के लिए, हम एक संख्या को गुणक के रूप में लिखते हैं और उसके नीचे दूसरी संख्या को गुणक के रूप में लिखते हैं। नेविगेट करना आसान बनाने के लिए, आप संदर्भ के रूप में ग्रिड (ए) का उपयोग कर सकते हैं।

अब हम गुणक के बाएँ अंक को गुणक के प्रत्येक अंक, यानी 9x7, 9x9 और 9x3 से गुणा करते हैं। हम निम्नलिखित नियमों को ध्यान में रखते हुए परिणामी उत्पादों को ग्रिड (बी) में लिखते हैं:

नियम 1. पहले उत्पाद की इकाइयों को गुणक के समान कॉलम में लिखा जाना चाहिए, यानी इस मामले में 9 के तहत।
नियम 2. बाद के कार्यों को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए कि इकाइयाँ पिछले कार्य के ठीक दाईं ओर वाले कॉलम में रखी जाएँ।

आइए समान नियम (सी) का पालन करते हुए गुणक के अन्य अंकों के साथ पूरी प्रक्रिया को दोहराएं।

फिर हम कॉलम में संख्याओं को जोड़ते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं: 72956।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें कार्यों की एक बड़ी सूची मिलती है। भारतीयों, जिनके पास व्यापक अभ्यास था, ने प्रत्येक संख्या को संबंधित कॉलम में नहीं, बल्कि जहां तक संभव हो, शीर्ष पर लिखा। फिर उन्होंने कॉलम में संख्याओं को जोड़ा और परिणाम प्राप्त किया।

निष्कर्ष

हमने एक नई सहस्राब्दी में प्रवेश किया है! मानव जाति की महान खोजें और उपलब्धियाँ। हम बहुत कुछ जानते हैं, हम बहुत कुछ कर सकते हैं। यह कुछ अलौकिक लगता है कि संख्याओं और सूत्रों की मदद से कोई अंतरिक्ष यान की उड़ान, देश में "आर्थिक स्थिति", "कल" के मौसम की गणना कर सकता है और एक राग में नोटों की ध्वनि का वर्णन कर सकता है। हम ईसा पूर्व चौथी शताब्दी में रहने वाले प्राचीन यूनानी गणितज्ञ और दार्शनिक - पाइथागोरस के कथन को जानते हैं - "हर चीज़ एक संख्या है!"

इस वैज्ञानिक और उनके अनुयायियों के दार्शनिक दृष्टिकोण के अनुसार, संख्याएँ न केवल माप और वजन को नियंत्रित करती हैं, बल्कि प्रकृति में होने वाली सभी घटनाओं को भी नियंत्रित करती हैं, और दुनिया में राज करने वाले सद्भाव का सार हैं, जो ब्रह्मांड की आत्मा हैं।

गणना के प्राचीन तरीकों और त्वरित गणना के आधुनिक तरीकों का वर्णन करते हुए, मैंने यह दिखाने की कोशिश की कि अतीत और भविष्य दोनों में, मानव मस्तिष्क द्वारा निर्मित विज्ञान, गणित के बिना कोई काम नहीं कर सकता।

"जो कोई भी बचपन से गणित का अध्ययन करता है, उसका ध्यान विकसित होता है, वह मस्तिष्क को प्रशिक्षित करता है, अपनी इच्छाशक्ति विकसित करता है, और लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए दृढ़ता और दृढ़ता विकसित करता है।"(ए. मार्कुशेविच)

साहित्य।

बच्चों के लिए विश्वकोश. "टी.23"। यूनिवर्सल इनसाइक्लोपीडिक डिक्शनरी \ एड। बोर्ड: एम. अक्सेनोवा, ई. झुरावलेवा, डी. ल्यूरी और अन्य - एम.: वर्ल्ड ऑफ इनसाइक्लोपीडियास अवंता +, एस्ट्रेल, 2008. - 688 पी।
ओज़ेगोव एस.आई. रूसी भाषा का शब्दकोश: लगभग। 57,000 शब्द / एड. सदस्य - ठीक है. अंसिर एन.यू.यू. श्वेदोवा। - 20वां संस्करण - एम.: शिक्षा, 2000. - 1012 पी.
मुझे सब कुछ जानना है! बुद्धि का बड़ा सचित्र विश्वकोश / अनुवाद। अंग्रेज़ी से। ए. ज़्यकोवा, के. माल्कोवा, ओ. ओज़ेरोवा। - एम.: पब्लिशिंग हाउस ईसीएमओ, 2006। - 440 पी।
शीनिना ओ.एस., सोलोव्योवा जी.एम. अंक शास्त्र। स्कूल क्लब कक्षा 5-6 ग्रेड / ओ.एस. शीनीना, जी.एम. सोलोव्योवा - एम.: पब्लिशिंग हाउस एनटीएसईएनएएस, 2007. - 208 पी।
कोर्डेम्स्की बी.ए., अखाडोव ए.ए. संख्याओं की अद्भुत दुनिया: छात्रों की एक पुस्तक, - एम. शिक्षा, 1986।
मिनसिख ई.एम. "खेल से ज्ञान तक", एम., "ज्ञानोदय" 1982।
स्वेचनिकोव ए.ए. संख्याएं, आंकड़े, समस्याएं एम., शिक्षा, 1977।
http: //मत्सिएव्स्की। न्यूमेल. ru/sys-schi/file15.htm
http://sch69.naroad. आरयू/मॉड/1/6506/इतिहास। एचटीएमएल

गुणा करने का दूसरा तरीका:

रूस में, किसान गुणन सारणी का उपयोग नहीं करते थे, लेकिन वे बहु-अंकीय संख्याओं के उत्पाद की गणना पूरी तरह से करते थे।

रूस में, प्राचीन काल से शुरू होकर लगभग अठारहवीं तकसदियों से, रूसी लोगों ने अपनी गणना में गुणा के बिना और कियाविभाजन। उन्होंने केवल दो अंकगणितीय संक्रियाओं का उपयोग किया - जोड़ औरघटाव. इसके अलावा, तथाकथित "दोहरीकरण" और "विभाजन"। लेकिनव्यापार और अन्य गतिविधियों की जरूरतों के लिए उत्पादन की आवश्यकता होती हैदो अंकों और तीन अंकों वाली काफी बड़ी संख्याओं का गुणन।इस प्रयोजन के लिए ऐसी संख्याओं को गुणा करने का एक विशेष तरीका मौजूद था।

गुणन की पुरानी रूसी पद्धति का सार यही हैकिन्हीं दो संख्याओं के गुणन को क्रमिक विभाजनों की श्रृंखला में बदल दिया गयाएक साथ आधे में एक संख्या (अनुक्रमिक विभाजन)।किसी अन्य संख्या को दोगुना करना।

उदाहरण के लिए, यदि गुणनफल 24 ∙ 5 में गुणक 24 दो से कम हो जाता हैगुना (दोगुना), और गुणक दोगुना (दोगुना) है, यानी। लेनागुणनफल 12 ∙ 10 है, तो गुणनफल संख्या 120 के बराबर रहता है।हमारे दूर के पूर्वजों ने काम की गुणवत्ता देखी और सीखाअपने विशेष पुराने रूसी में संख्याओं को गुणा करते समय इसे लागू करेंगुणन का तरीका.

आइए इस प्रकार गुणा करें 32 ∙ 17..
32 ∙ 17
16 ∙ 34
8 ∙ 68
4 ∙ 136
2 ∙ 272
1 ∙544 उत्तर: 32 ∙ 17 = 544.

विश्लेषित उदाहरण में, दो से विभाजन - "विभाजन" होता हैएक का पता लगाए बिना। लेकिन क्या होगा यदि गुणक बिना किसी शेषफल के दो से विभाज्य नहीं है? औरऐसा लगता है कि यह प्राचीन कैलकुलेटर की क्षमताओं के भीतर था। इस मामले में, हमने यह किया:
21 ∙ 17
10 ∙ 34
5 ∙ 68
2 ∙ 136
1 ∙ 272
357 उत्तर: 357.

उदाहरण से यह स्पष्ट है कि यदि गुणक दो से विभाज्य नहीं है, तो उससेपहले हमने एक घटाया, फिर हमने परिणामी परिणाम को दोगुना कर दिया" इत्यादि5 जाना है. फिर सम गुणकों वाली सभी पंक्तियों को काट दिया गया (दूसरा, चौथा,6वाँ, आदि), और शेष पंक्तियों के सभी सही भाग जोड़े और प्राप्त किए गएइच्छित कार्य.

प्राचीन कैलकुलेटरों ने अपनी पद्धति को उचित ठहराते हुए किस प्रकार तर्क किया?गणना? कि कैसे: 21 ∙ 17 = 20 ∙ 17 + 17.
संख्या 17 याद है, और गुणनफल 20 ∙ 17 = 10 ∙ 34 (हम द्विभाजित करते हैं -डबल) और इसे लिख लें। गुणनफल 10 ∙ 34 = 5 ∙ 68 (हम द्विभाजित करते हैं -डबल), और अतिरिक्त उत्पाद 10∙34 काट दें। चूँकि 5*34= 4 ∙ 68 + 68, तो संख्या 68 याद आती है, अर्थात्। तीसरी पंक्ति को पार नहीं किया गया है, लेकिन4 ∙ 68 = 2 ∙ 136 = 1 ∙ 272 (हम दोगुना - हम दोगुना), चौथे के साथवह पंक्ति जिसमें, मानो, एक अतिरिक्त गुणनफल 2 ∙ 136 था, काट दिया गया है, और272 नंबर याद है. तो यह पता चला कि 21 को 17 से गुणा करने के लिए,आपको संख्याएँ 17, 68 और 272 जोड़ने की आवश्यकता है - ये रेखाओं के बिल्कुल बराबर भाग हैंअर्थात् विषम गुणकों के साथ।
गुणन की रूसी पद्धति एक ही समय में सुरुचिपूर्ण और असाधारण दोनों है

मैं आपके ध्यान में रंगीन चित्रों में (ऊपरी दाएं कोने में) तीन उदाहरण लाता हूं चेक पोस्ट).

उदाहरण 1: 12 × 321 = 3852
हम चित्र बनाते हैं पहला नंबरऊपर से नीचे, बाएँ से दाएँ: एक हरी छड़ी ( 1 ); दो नारंगी छड़ें ( 2 ). 12 खींचा.
हम चित्र बनाते हैं दूसरा नंबरनीचे से ऊपर, बाएँ से दाएँ: तीन छोटी नीली छड़ियाँ ( 3 ); दो लाल वाले ( 2 ); एक बकाइन एक ( 1 ). 321 खींचा.

अब, एक साधारण पेंसिल का उपयोग करके, हम चित्र पर चलेंगे, छड़ी संख्याओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को भागों में विभाजित करेंगे और बिंदुओं की गिनती शुरू करेंगे। दाएँ से बाएँ (घड़ी की दिशा में) घूमना: 2 , 5 , 8 , 3 . परिणाम क्रमांकहम बाएँ से दाएँ (वामावर्त) "इकट्ठा" करेंगे और... वोइला, हमें मिल गया 3852

उदाहरण #2: 24 × 34 = 816
इस उदाहरण में बारीकियां हैं. पहले भाग में अंक गिनने पर यह पता चला 16 . हम एक भेजते हैं और इसे दूसरे भाग के बिंदुओं में जोड़ते हैं ( 20 + 1 )…

उदाहरण #3: 215 × 741 = 159315
कोई टिप्पणी नहीं

सबसे पहले, यह मुझे कुछ हद तक दिखावटी लगा, लेकिन साथ ही दिलचस्प और आश्चर्यजनक रूप से सामंजस्यपूर्ण भी लगा। पांचवें उदाहरण में, मैंने खुद को यह सोचते हुए पाया कि गुणन शुरू हो रहा है और काम कर रहा है ऑटोपायलट मोड में: बनाएं, बिंदु गिनें, हमें गुणन सारणी याद नहीं है, ऐसा लगता है जैसे हम इसे जानते ही नहीं हैं।

ईमानदारी से कहूँ तो जाँच करते समय गुणन की ड्राइंग विधिऔर स्तंभ गुणन की ओर मुड़ते हुए, एक या दो से अधिक बार, मुझे शर्म की बात है, मैंने कुछ मंदी देखी, यह दर्शाता है कि मेरी गुणन तालिका कुछ स्थानों पर खराब हो गई थी और मुझे इसे नहीं भूलना चाहिए। अधिक "गंभीर" संख्याओं के साथ काम करते समय गुणन की ड्राइंग विधिबहुत भारी हो गया, और कॉलम से गुणायह एक खुशी थी.

पी.एस.: मूलनिवासी स्तम्भ की जय एवं वंदन!
निर्माण के संदर्भ में, विधि सरल और संक्षिप्त है, बहुत तेज़ है, यह आपकी याददाश्त को प्रशिक्षित करता है और आपको गुणन सारणी को भूलने से रोकता है।

और इसलिए, मैं दृढ़तापूर्वक अनुशंसा करता हूं कि आप और आप स्वयं, यदि संभव हो तो, फोन और कंप्यूटर पर कैलकुलेटर के बारे में भूल जाएं; और समय-समय पर अपने आप को कॉलम से गुणा करने का प्रयास करें। अन्यथा फिल्म "राइज़ ऑफ़ द मशीन्स" का कथानक सिनेमा स्क्रीन पर नहीं, बल्कि हमारी रसोई या हमारे घर के बगल के लॉन में सामने आएगा...

तीन बार में बायाँ कंधा...लकड़ी पर दस्तक... ...और सबसे महत्वपूर्ण बात मानसिक जिम्नास्टिक के बारे में मत भूलना!

गुणन सारणी सीखना!!!

एमबीओयू "स्कूल स्कूल" वोल्नोये" खारबलिंस्की जिला, अस्त्रखान क्षेत्र

परियोजना पर:

« गुणा करने के असामान्य तरीकेऔर मैं»

कार्य इनके द्वारा पूरा किया गया:

5वीं कक्षा के छात्र :

तुलेशेवा अमीना,

सुल्तानोव समत,

कुयांगुज़ोवा रासिता।

आर प्रोजेक्ट मैनेजर:

गणित शिक्षक

फतेयेवा टी.वी.

वोल्नो 201 6 वर्ष .

"हर चीज़ संख्या है" पाइथागोरस

परिचय

21वीं सदी में, ऐसे व्यक्ति के जीवन की कल्पना करना असंभव है जो गणना नहीं करता है: इनमें सेल्सपर्सन, अकाउंटेंट और सामान्य स्कूली बच्चे शामिल हैं।

स्कूल में लगभग किसी भी विषय का अध्ययन करने के लिए गणित का अच्छा ज्ञान आवश्यक है और इसके बिना इन विषयों में महारत हासिल करना असंभव है। गणित में दो तत्वों का बोलबाला है - संख्याएँ और अंक जिनके साथ अनंत प्रकार के गुण और क्रियाएँ होती हैं।

हम गणितीय संक्रियाओं के इतिहास के बारे में और अधिक जानना चाहते थे। अब जब कंप्यूटिंग तकनीक तेजी से विकसित हो रही है, तो कई लोग मानसिक अंकगणित से खुद को परेशान नहीं करना चाहते हैं। इसलिए, हमने न केवल यह दिखाने का निर्णय लिया कि कार्य करने की प्रक्रिया स्वयं दिलचस्प हो सकती है, बल्कि यह भी कि, त्वरित गिनती की तकनीकों में पूरी तरह से महारत हासिल करने के बाद, आप कंप्यूटर के साथ प्रतिस्पर्धा कर सकते हैं।

इस विषय की प्रासंगिकता इस तथ्य में निहित है कि कम्प्यूटेशनल कौशल के निर्माण में गैर-मानक तकनीकों के उपयोग से छात्रों की गणित में रुचि बढ़ती है और गणितीय क्षमताओं के विकास को बढ़ावा मिलता है।

कार्य का लक्ष्य:

औरकुछ गैर-मानक गुणन तकनीकों को सीखें और दिखाएं कि उनका उपयोग गणना प्रक्रिया को तर्कसंगत और दिलचस्प बनाता हैऔर जिसकी गणना के लिए मानसिक गणना या पेंसिल, पेन और कागज का उपयोग ही पर्याप्त है।

परिकल्पना:

इयदि हमारे पूर्वज प्राचीन तरीकों से गुणा करना जानते थे, तो क्या इस समस्या पर साहित्य का अध्ययन करने के बाद, क्या एक आधुनिक स्कूली बच्चा इसे सीख सकता है, या किसी प्रकार की अलौकिक क्षमताओं की आवश्यकता है?

कार्य:

1. गुणा करने के असामान्य तरीके खोजें।

2. उन्हें लागू करना सीखें.

3. अपने लिए स्कूल में दी जाने वाली पेशकशों की तुलना में सबसे दिलचस्प या आसान चीज़ें चुनें और गिनती करते समय उनका उपयोग करें।

4. सहपाठियों को नये प्रयोग करना सिखायेंइरास्ताएसगुणन.

अध्ययन का उद्देश्य: गणितीय संक्रिया गुणन

अध्ययन का विषय: गुणन विधियाँ

तलाश पद्दतियाँ:

वैज्ञानिक और का उपयोग कर खोज विधि शैक्षणिक साहित्य, इंटरनेट;

गुणन के तरीकों को निर्धारित करने में अनुसंधान विधि;

उदाहरणों को हल करने की व्यावहारिक विधि;

- - गुणन के गैर-मानक तरीकों के बारे में उनके ज्ञान के बारे में उत्तरदाताओं का सर्वेक्षण करना।

ऐतिहासिक सन्दर्भ

असाधारण क्षमताओं वाले लोग हैं जो मानसिक गणना की गति में कंप्यूटर से प्रतिस्पर्धा कर सकते हैं। उन्हें "चमत्कारी काउंटर" कहा जाता है। और ऐसे बहुत से लोग हैं.

ऐसा कहा जाता है कि गॉस के पिता, सप्ताह के अंत में अपने कर्मचारियों को भुगतान करते समय, ओवरटाइम घंटों के लिए प्रत्येक दिन की कमाई में भुगतान जोड़ते थे। एक दिन, फादर गॉस द्वारा अपनी गणना समाप्त करने के बाद, एक 3 वर्षीय बच्चा जो अपने पिता के कार्यों का अनुसरण कर रहा था, बोला: "पिताजी, गणना सही नहीं है! यह राशि होनी चाहिए!” गणना दोहराई गई और हमें यह देखकर आश्चर्य हुआ कि लड़के ने सही राशि बताई थी।

20वीं सदी की शुरुआत में रूस में, "गणना के जादूगर" रोमन सेमेनोविच लेविटन, जो छद्म नाम एरागो के तहत जाने जाते थे, अपने कौशल से चमके। लड़के में पहले से ही अनोखी क्षमताएँ दिखाई देने लगीं प्रारंभिक अवस्था. कुछ ही सेकंड में, उसने दस अंकों की संख्याओं का वर्ग और घन कर दिया और अलग-अलग डिग्री के मूल निकाले। वह यह सब असाधारण सहजता से करता दिख रहा था। लेकिन यह सहजता भ्रामक थी और इसमें काफी दिमाग लगाने की जरूरत थी।

2007 में, मार्क चेरी, जो तब 2.5 वर्ष के थे, ने अपनी बौद्धिक क्षमताओं से पूरे देश को आश्चर्यचकित कर दिया। "मिनट ऑफ फेम" शो में युवा प्रतिभागी ने आसानी से अपने दिमाग में बहु-अंकीय संख्याओं को गिना, गणना में अपने माता-पिता और जूरी, जो कैलकुलेटर का उपयोग करते थे, से बेहतर प्रदर्शन किया। पहले से ही दो साल की उम्र में उन्होंने कोसाइन और साइन की तालिका के साथ-साथ कुछ लघुगणक में भी महारत हासिल कर ली थी।

यूक्रेनी विज्ञान अकादमी के साइबरनेटिक्स संस्थान में कंप्यूटर और मनुष्यों के बीच प्रतियोगिताएं आयोजित की गईं। प्रतियोगिता में युवा काउंटर-घटना इगोर शेलुश्कोव और जेडवीएम "मीर" ने भाग लिया था। मशीन ने कुछ ही सेकंड में कई जटिल ऑपरेशन किए, लेकिन विजेता इगोर शेलुश्कोव थे।

भारत में सिडनी विश्वविद्यालय ने भी एक मानव-मशीन प्रतियोगिता की मेजबानी की। शकुंतला देवी कंप्यूटर में भी आगे थीं.

इनमें से अधिकतर लोगों की याददाश्त और प्रतिभा बहुत अच्छी होती है। लेकिन उनमें से कुछ के पास गणित में कोई विशेष योग्यता नहीं होती है। वे रहस्य जानते हैं! और यह रहस्य यह है कि उन्होंने त्वरित गिनती की तकनीक सीख ली है और कई विशेष सूत्र याद कर लिए हैं। इसका मतलब यह है कि हम भी इन तकनीकों का उपयोग करके जल्दी और सटीक गिनती कर सकते हैं।

पुराने दिनों में गुणा और भाग की संक्रियाएँ विशेष रूप से कठिन थीं। तब प्रत्येक क्रिया के लिए अभ्यास द्वारा कोई एक विधि विकसित नहीं थी।

इसके विपरीत, एक ही समय में गुणन और भाग की लगभग एक दर्जन अलग-अलग विधियाँ उपयोग में थीं - एक से बढ़कर एक जटिल तकनीकें, जिन्हें औसत क्षमता वाला व्यक्ति याद नहीं रख पाता था। गिनती का प्रत्येक शिक्षक अपनी पसंदीदा तकनीक पर अड़ा रहा, प्रत्येक "विभाजन के मास्टर" (ऐसे विशेषज्ञ थे) ने इस क्रिया को करने के अपने तरीके की प्रशंसा की।

वी. बेलस्टिन की पुस्तक "कैसे लोग धीरे-धीरे वास्तविक अंकगणित तक पहुंचे" में गुणन की 27 विधियों की रूपरेखा दी गई है, और लेखक नोट करता है: "यह बहुत संभव है कि पुस्तक भंडारों के अवकाशों में अन्य विधियां छिपी हुई हैं, जो असंख्य में बिखरी हुई हैं, मुख्य रूप से हस्तलिखित हैं संग्रह।"

आइए गुणन के सबसे दिलचस्प और सरल तरीकों पर नजर डालें।

उंगलियों पर गुणन की पुरानी रूसी पद्धति

यह सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है, जिसे रूसी व्यापारी कई शताब्दियों से सफलतापूर्वक उपयोग कर रहे हैं।

इस पद्धति का सिद्धांत: उंगलियों पर एकल-अंकीय संख्याओं को 6 से 9 तक गुणा करना। यहां उंगलियां एक सहायक कंप्यूटिंग डिवाइस के रूप में कार्य करती हैं।

ऐसा करने के लिए, एक तरफ उन्होंने उतनी उंगलियां फैलाईं जितनी पहला कारक संख्या 5 से अधिक हो, और दूसरी तरफ उन्होंने दूसरे कारक के लिए भी ऐसा ही किया। बाकी उंगलियां मुड़ी हुई थीं. फिर फैली हुई उंगलियों की संख्या (कुल) ली गई और 10 से गुणा किया गया, फिर संख्याओं को गुणा किया गया, यह दिखाते हुए कि कितनी उंगलियां मुड़ी हुई थीं, और परिणाम जोड़े गए।

उदाहरण के लिए, आइए 7 को 8 से गुणा करें। विचारित उदाहरण में, 2 और 3 उंगलियां मुड़ी होंगी। यदि आप मुड़ी हुई उंगलियों की संख्या (2+3=5) जोड़ते हैं और न मुड़ी हुई उंगलियों की संख्या को गुणा करते हैं (2 3=6), तो आपको वांछित उत्पाद की दहाई और इकाई की संख्या क्रमशः 56 मिलेगी। इस तरह आप 5 से बड़ी किसी भी एकल-अंकीय संख्या के गुणनफल की गणना कर सकते हैं।

संख्या 9 का गुणन "अपनी उंगलियों पर" पुन: प्रस्तुत करना बहुत आसान है

आरएसितारेवेदोनों हाथों की अंगुलियाँ रखें और अपने हाथों को अपनी हथेलियों से दूर की ओर मोड़ें। मानसिक रूप से अपनी उंगलियों को 1 से 10 तक संख्याएं निर्दिष्ट करें, जो आपके बाएं हाथ की छोटी उंगली से शुरू होती है और सबसे छोटी उंगली पर समाप्त होती है। दांया हाथ. मान लीजिए हम 9 को 6 से गुणा करना चाहते हैं। हम जिस संख्या से नौ को गुणा करेंगे उसके बराबर संख्या वाली उंगली को मोड़ते हैं। हमारे उदाहरण में, हमें संख्या 6 वाली उंगली को मोड़ने की आवश्यकता है। मुड़ी हुई उंगली के बाईं ओर की उंगलियों की संख्या हमें उत्तर में दहाई की संख्या दिखाती है, दाईं ओर की उंगलियों की संख्या इकाई की संख्या को दर्शाती है। बाईं ओर हमारी 5 उंगलियां हैं जो मुड़ी हुई नहीं हैं, दाईं ओर - 4 उंगलियां हैं। इस प्रकार, 9·6=54.

नोटबुक सेल का उपयोग करके 9 से गुणा करना

आइए, उदाहरण के लिए, एक नोटबुक में 10 सेल लें। 8वें बॉक्स को काट दें। बाईं ओर 7 कोशिकाएँ बची हैं, दाईं ओर 2 कोशिकाएँ हैं। तो 9·8=72. सब कुछ बहुत सरल है!

7 2

गुणन विधि "छोटा महल"

"लिटिल कैसल" गुणन विधि का लाभ यह है कि अग्रणी अंक शुरू से ही निर्धारित होते हैं, और यह महत्वपूर्ण हो सकता है यदि आपको किसी मूल्य का तुरंत अनुमान लगाने की आवश्यकता हो।सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू करके ऊपरी संख्या के अंकों को बारी-बारी से निचली संख्या से गुणा किया जाता है और शून्य की आवश्यक संख्या जोड़कर एक कॉलम में लिखा जाता है। फिर परिणाम जोड़े जाते हैं।

"जाली गुणन"

सबसे पहले, एक आयत बनाया जाता है, उसे वर्गों में विभाजित किया जाता है, और आयत की भुजाओं के आयाम गुणक और गुणक के दशमलव स्थानों की संख्या के अनुरूप होते हैं।

फिर वर्गाकार कोशिकाओं को तिरछे विभाजित किया जाता है, और "... आपको एक तस्वीर मिलती है जो जाली शटर की तरह दिखती है. ऐसे शटर वेनिस के घरों की खिड़कियों पर लटकाए गए थे..."

"रूसी किसान रास्ता"

आइए एक पंक्ति में एक संख्या बाईं ओर और दूसरी दाईं ओर लिखें। हम बाईं संख्या को 2 से विभाजित करेंगे, और दाईं संख्या को 2 से गुणा करेंगे और परिणाम को एक कॉलम में लिखेंगे।

यदि विभाजन के दौरान कोई शेष बचता है तो उसे हटा दिया जाता है। 2 से गुणा और भाग तब तक जारी रहता है जब तक बाईं ओर 1 शेष न रह जाए।

गुणन की यह विधि पहले चर्चा की गई गुणन विधियों की तुलना में बहुत सरल है। लेकिन यह बहुत भारी भी है.

"क्रॉस से गुणा करना"

प्राचीन यूनानियों और हिंदुओं ने प्राचीन काल में क्रॉस गुणन की तकनीक को "बिजली की विधि" या "क्रॉस द्वारा गुणा" कहा था।

24 और 32

2 4

3 2

4x2=8 - परिणाम का अंतिम अंक;

2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6 परिणाम का अंतिम अंक है, इकाई याद रखें;

2x3=6 और साथ ही एक संख्या को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास 7 है - यह परिणाम का पहला अंक है।

हमें उत्पाद के सभी नंबर मिलते हैं: 7,6,8. उत्तर:768.

गुणा करने का भारतीय तरीका

546 7

5 7=35 35

350+ 4 7=378 378

3780 + 6 7=3822 3822

546 7= 3822

इस पद्धति का आधार यह विचार है कि एक ही अंक इकाइयों, दहाई, सैकड़ों या हजारों का प्रतिनिधित्व करता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि अंक कहां है। किसी भी अंक की अनुपस्थिति में, व्याप्त स्थान, संख्याओं को निर्दिष्ट शून्य द्वारा निर्धारित किया जाता है।

परहम उच्चतम अंक से गुणा शुरू करते हैं, और गुणक के ठीक ऊपर अपूर्ण उत्पादों को थोड़ा-थोड़ा करके लिखते हैं। इस मामले में, संपूर्ण उत्पाद का सबसे महत्वपूर्ण अंक तुरंत दिखाई देता है और इसके अलावा, किसी भी अंक की कमी समाप्त हो जाती है। गुणन चिह्न अभी ज्ञात नहीं था, इसलिए गुणनखंडों के बीच थोड़ी दूरी छोड़ दी गई थी

गुणन की चीनी (ड्राइंग) विधि

उदाहरण 1: 12 × 321 = 3852
हम चित्र बनाते हैंपहला नंबर ऊपर से नीचे, बाएँ से दाएँ: एक हरी छड़ी (1 ); दो नारंगी छड़ें (2 ). 12 ड्रयू
हम चित्र बनाते हैंदूसरा नंबर नीचे से ऊपर, बाएँ से दाएँ: तीन छोटी नीली छड़ियाँ (3 ); दो लाल वाले (2 ); एक बकाइन एक (1 ). 321 ड्रयू

आइए अब एक साधारण पेंसिल से चित्र को देखें, छड़ी संख्याओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को भागों में विभाजित करें और बिंदुओं को गिनना शुरू करें। दाएँ से बाएँ (घड़ी की दिशा में) घूमना:2 , 5 , 8 , 3 . परिणाम क्रमांक हमें जो मिला उसे हम बाएँ से दाएँ (वामावर्त) "एकत्रित" करेंगे3852

उदाहरण #2: 24 × 34 = 816
इस उदाहरण में बारीकियाँ हैं;-) पहले भाग में अंक गिनने पर यह पता चला16 . हम एक भेजते हैं और इसे दूसरे भाग के बिंदुओं में जोड़ते हैं (20 + 1 )…

उदाहरण #3: 215 × 741 = 159315

परियोजना पर काम करते समय, हमने एक सर्वेक्षण किया। विद्यार्थियों ने निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दिये।

1. क्या आधुनिक मनुष्य को मानसिक अंकगणित की आवश्यकता है??

हाँनहीं

2. क्या आप लंबे गुणन के अलावा गुणा करने के अन्य तरीके जानते हैं?

हाँनहीं

3. क्या आप उनका उपयोग करते हैं??

हाँनहीं

4. क्या आप गुणा करने के अन्य तरीके जानना चाहेंगे??

ज़रूरी नहीं

हमने कक्षा 5-10 के छात्रों का सर्वेक्षण किया।

इस सर्वेक्षण से पता चला कि आधुनिक स्कूली बच्चे कार्य करने के अन्य तरीके नहीं जानते हैं, क्योंकि वे शायद ही कभी स्कूली पाठ्यक्रम के बाहर की सामग्री की ओर रुख करते हैं।

निष्कर्ष:

गणित के इतिहास में कई दिलचस्प घटनाएँ और खोजें हैं; दुर्भाग्य से, ये सभी जानकारी हम, आधुनिक छात्रों तक नहीं पहुँचती हैं।

इस कार्य से हम कम से कम इस अंतर को थोड़ा भरना चाहते थे और अपने साथियों को गुणन की प्राचीन विधियों के बारे में जानकारी देना चाहते थे।

रोबोट के दौरान हमने गुणन की क्रिया की उत्पत्ति के बारे में जाना। पुराने दिनों में इस क्रिया में महारत हासिल करना आसान काम नहीं था; तब, अब की तरह, अभ्यास द्वारा अभी तक एक भी तकनीक विकसित नहीं हुई थी। इसके विपरीत, एक ही समय में गुणन की लगभग एक दर्जन अलग-अलग विधियाँ उपयोग में थीं - विधियाँ एक से एक अधिक जटिल, दृढ़ता से, जिन्हें औसत क्षमता का व्यक्ति याद नहीं रख पाता था। गिनती के प्रत्येक शिक्षक ने अपनी पसंदीदा तकनीक का पालन किया, प्रत्येक "मास्टर" (ऐसे विशेषज्ञ थे) ने इस क्रिया को करने के अपने तरीके की प्रशंसा की। यह भी माना गया कि बहु-अंकीय संख्याओं को तेजी से और सटीक रूप से गुणा करने की कला में महारत हासिल करने के लिए, आपको एक विशेष प्राकृतिक प्रतिभा, असाधारण क्षमताओं की आवश्यकता होती है; यह ज्ञान सामान्य लोगों के लिए अप्राप्य है।

अपने काम से हमने साबित कर दिया है कि हमारी परिकल्पना सही है; गुणन के प्राचीन तरीकों का उपयोग करने में सक्षम होने के लिए आपके पास अलौकिक क्षमताएं होने की आवश्यकता नहीं है। हमने यह भी सीखा कि सामग्री का चयन कैसे करें, उसे कैसे संसाधित करें, यानी मुख्य चीज़ को उजागर करें और उसे व्यवस्थित करें।

प्रस्तुत सभी तरीकों से गिनना सीखने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सबसे सरल तरीके वे हैं जो हम स्कूल में पढ़ते हैं, या शायद हम बस उनके अभ्यस्त हैं।

आधुनिक तरीकागुणन सरल और सभी के लिए सुलभ है।

लेकिन हम सोचते हैं कि कॉलम से गुणा करने की हमारी विधि सही नहीं है और हम और भी तेज़ और अधिक विश्वसनीय तरीकों के साथ आ सकते हैं।

यह संभव है कि बहुत से लोग पहली बार तुरंत, मौके पर ही ये या अन्य गणनाएँ करने में सक्षम नहीं होंगे।

कोई बात नहीं। निरंतर कम्प्यूटेशनल प्रशिक्षण की आवश्यकता है. यह आपको उपयोगी मानसिक अंकगणितीय कौशल हासिल करने में मदद करेगा!

ग्रन्थसूची

1. ग्लेज़र, जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास ⁄ जी. आई. ग्लेज़र ⁄ स्कूल में गणित का इतिहास: शिक्षकों के लिए एक मैनुअल ⁄ वी.एन. मोलोडशी द्वारा संपादित। - एम.: शिक्षा, 1964. - पी. 376.

पेरेलमैन हां. आई. मनोरंजक अंकगणित: संख्याओं की दुनिया में पहेलियां और चमत्कार। - एम.: रुसानोवा पब्लिशिंग हाउस, 1994. - पी. 142.

बच्चों के लिए विश्वकोश. टी. 11. गणित/अध्याय. ईडी। एम. डी. अक्सेनोवा। - एम.: अवता+, 2003. - पी. 130.

पत्रिका "गणित" संख्या 15 2011

इंटरनेट संसाधन.

मिनचेवा अन्ना, एमएओयू सेकेंडरी स्कूल नंबर 37, उलान-उडे की छठी कक्षा की छात्रा

आधुनिक का निरंतर उपयोग कंप्यूटर प्रौद्योगिकीइस तथ्य की ओर जाता है कि छात्रों को अपने पास टेबल या गणना मशीन के बिना कोई भी गणना करने में कठिनाई होती है। विषय की प्रासंगिकताशोध यह है कि सरलीकृत गणना तकनीकों का ज्ञान न केवल दिमाग में सरल गणनाओं को जल्दी से निष्पादित करना संभव बनाता है, बल्कि मशीनीकृत गणनाओं के परिणामस्वरूप त्रुटियों को नियंत्रित करना, मूल्यांकन करना, ढूंढना और सही करना भी संभव बनाता है। इसके अलावा, कम्प्यूटेशनल कौशल में महारत हासिल करने से स्मृति विकसित होती है, सोच की गणितीय संस्कृति का स्तर बढ़ता है और भौतिक और गणितीय चक्र के विषयों में पूरी तरह से महारत हासिल करने में मदद मिलती है।

डाउनलोड करना:

पूर्व दर्शन:

MAOU "माध्यमिक विद्यालय संख्या 37"

वैज्ञानिक और व्यावहारिक सम्मेलन "साधारण चमत्कार"

अनुभाग: अंकगणित

"गुणन की विभिन्न विधियाँ: प्राचीन काल से हमारे समय तक"

प्रदर्शन किया:

मिनचेवा अन्ना,

छठी कक्षा का छात्र

पर्यवेक्षक:

कोनेवा गैलिना मिखाइलोव्ना,

गणित शिक्षक,

"रूसी संघ की शिक्षा में उत्कृष्टता"

रूस के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों की प्रतियोगिता के विजेता (2009)

Ulan-Ude

2017

समीक्षा।

मुझे लगता है कि छात्र ने बहुत अच्छा काम किया है, और यह रिपोर्ट गणित में रुचि रखने वाले छात्रों और भविष्य के अर्थशास्त्रियों के लिए दिलचस्प होगी।

उच्चतम श्रेणी के शिक्षक: कोनेवा जी.एम.

योजना।

1 परिचय

2. मुख्य भाग. प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के तरीके

2.1. दो अंकों की संख्याओं के साथ संचालन करते समय क्रॉस गुणन का स्वागत

2.2. "ईर्ष्या, या जाली गुणन" विधि का उपयोग करके गुणन

2.3. "छोटा महल" विधि का उपयोग करके गुणन

2.4. गुणन की किसान विधि

2.5. गुणा करने का भारतीय तरीका

2.6 गुणन की ज्यामितीय विधि

2.7.अपनी उंगलियों पर 9 से गुणा करने का मूल तरीका

2.8.ओकोनेश्निकोव की विधि

3.निष्कर्ष

"गणित का विषय बहुत गंभीर है,
क्या करने के अवसरों को न चूकना उपयोगी है
यह थोड़ा मनोरंजक है।" बी पास्कल

परिचय।

किसी व्यक्ति के लिए रोजमर्रा की जिंदगी में गणनाओं के बिना काम करना असंभव है। इसलिए, गणित के पाठों में हमें संख्याओं के साथ संक्रियाएँ करना, अर्थात् गिनती करना सिखाया जाता है। हम स्कूल में सीखे जाने वाले सामान्य तरीकों से गुणा, भाग, जोड़ और घटाव करते हैं।

एक पाठ में, गणित शिक्षक ने दिखाया कि आप कैसे गुणा कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 23 को 11 से। ऐसा करने के लिए, आपको मानसिक रूप से संख्या 2 और 3 को अलग करना होगा, और इस स्थान पर संख्या 5 डालनी होगी, यानी है, संख्या 2 और 3 का योग। परिणाम संख्या 253 थी। मुझे आश्चर्य हुआ कि क्या गणना की कोई अन्य विधियाँ हैं। आख़िरकार, शीघ्रता से गणना करने की क्षमता स्पष्ट रूप से आश्चर्यजनक है।

आधुनिक कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के निरंतर उपयोग से यह तथ्य सामने आता है कि छात्रों को टेबल या गणना मशीन के बिना कोई भी गणना करने में कठिनाई होती है।विषय की प्रासंगिकताशोध यह है कि सरलीकृत गणना तकनीकों का ज्ञान न केवल दिमाग में सरल गणनाओं को जल्दी से निष्पादित करना संभव बनाता है, बल्कि मशीनीकृत गणनाओं के परिणामस्वरूप त्रुटियों को नियंत्रित करना, मूल्यांकन करना, ढूंढना और सही करना भी संभव बनाता है। इसके अलावा, कम्प्यूटेशनल कौशल में महारत हासिल करने से स्मृति विकसित होती है, सोच की गणितीय संस्कृति का स्तर बढ़ता है और भौतिक और गणितीय चक्र के विषयों में पूरी तरह से महारत हासिल करने में मदद मिलती है।

कार्य का लक्ष्य:

गुणन के असामान्य तरीके खोजें और सीखें।

अनुसंधान के उद्देश्य:

1. यथासंभव अधिक से अधिक असामान्य गणना विधियाँ खोजें।

2. उन्हें लागू करना सीखें.

3.स्कूल में दी जाने वाली पेशकशों की तुलना में अपने लिए सबसे दिलचस्प या आसान विकल्प चुनें और गिनती करते समय उनका उपयोग करें।

4.अपने सहपाठियों को गुणन की विभिन्न विधियाँ सिखाएँ, एक प्रतियोगिता आयोजित करें - पाठ्येतर गतिविधियों में एक गणितीय लड़ाई।

तलाश पद्दतियाँ:

वैज्ञानिक और शैक्षिक साहित्य, इंटरनेट का उपयोग करके खोज विधि;

गुणन के तरीकों को निर्धारित करने में अनुसंधान विधि;

उदाहरणों को हल करने की एक व्यावहारिक विधि.

द्वितीय. कंप्यूटिंग अभ्यास के इतिहास से

मैंने इनमें से कुछ तरीकों का अध्ययन और शोध करना शुरू किया और सबसे दिलचस्प तरीकों को चुना।

तृतीय. गुणन के विभिन्न तरीके.

3.1. दो अंकों की संख्याओं के साथ संचालन करते समय क्रॉस गुणन की विधि

उदाहरण: 52 x 23 = 1173 5 1

हम क्रमिक रूप से निम्नलिखित क्रियाएं करते हैं:

1. 1 x 3 = 3 परिणाम का अंतिम अंक है।

2.5 x 3 = 15; 1x 2 = 2; 15 + 2 = 17.

उत्तर में अंतिम अंक 7 है, एक याद रखें।

3. 5 x 2 = 10, 10 + 1 = 11 उत्तर में पहली संख्याएँ हैं।

उत्तर: 1173.

3.2. लुका पैसिओली की प्राचीन विधि: "ईर्ष्या, या जाली गुणन"

गणित के विकास के सहस्राब्दियों के दौरान, गुणन की कई विधियों का आविष्कार किया गया है। गुणन सारणी के अलावा, वे सभी बोझिल, जटिल और याद रखने में कठिन हैं। ऐसा माना जाता था कि तेजी से गुणन की कला में महारत हासिल करने के लिए एक विशेष प्राकृतिक प्रतिभा की आवश्यकता होती है। यह कला उन सामान्य लोगों के लिए दुर्गम है जिनके पास कोई विशेष गणितीय प्रतिभा नहीं है।

आइए संख्या 987 को संख्या 1998 से गुणा करें।

तालिका के शीर्ष पर हम संख्या 987 लिखते हैं, और बाईं ओर से नीचे से ऊपर तक 1998 लिखते हैं (चित्र 1)।

प्रत्येक वर्ग में हम इस वर्ग के साथ एक पंक्ति और एक स्तंभ में स्थित संख्याओं का गुणनफल दर्ज करते हैं। दहाई निचले त्रिभुज में स्थित हैं, और इकाइयाँ ऊपरी त्रिभुज में स्थित हैं। प्रत्येक विकर्ण पर संख्याएँ जोड़ी जाती हैं। परिणाम तालिका के दाईं और बाईं ओर लिखे गए हैं .

चावल। 1 "ईर्ष्या, या जाली गुणन।"

उत्तर: 1972026.

3.3.लुका पैसिओली द्वारा एक और विधि: "लिटिल कैसल"

एक संख्या को दूसरे के नीचे ऐसे लिखा जाता है जैसे किसी कॉलम में गुणा करते समय (चित्र 2)। फिर ऊपरी संख्या के अंकों को निचली संख्या से एक-एक करके गुणा किया जाता है, उच्चतम अंक से शुरू किया जाता है और हर बार शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ दी जाती है।

परिणामी संख्याओं को एक साथ जोड़ दिया जाता है।

चावल। 2 "छोटा महल"

उत्तर: 1972026.

निष्कर्ष:

आइए इन दो विधियों का उपयोग करके संख्याओं 987 और 1998 को गुणा करके प्राप्त परिणामों की तुलना करें। उत्तर 1972026 हैं।

जाहिर है, गुणन की ये प्राचीन विधियां वास्तव में बहुत जटिल हैं और गुणन सारणी के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

3.4. गुणन की रूसी किसान विधि

आइए एक पंक्ति में एक संख्या बायीं ओर और दूसरी दायीं ओर लिखें (चित्र 3)। हम बाईं संख्या को 2 से विभाजित करेंगे, और दाईं संख्या को 2 से गुणा करेंगे और परिणाम को एक कॉलम में लिखेंगे।

चावल। 3 "रूसी किसान रास्ता"

उत्तर: 1972026.

निष्कर्ष: गुणन की यह विधि लुका पैसिओली द्वारा गुणन की पहले चर्चा की गई विधियों की तुलना में बहुत सरल है। लेकिन यह बहुत भारी भी है.

3.5. गुणा करने का भारतीय तरीका

गणितीय ज्ञान के खजाने में सबसे मूल्यवान योगदान भारत में किया गया था। हिंदुओं ने वह विधि प्रस्तावित की जिसका उपयोग हम दस चिह्नों का उपयोग करके संख्याएँ लिखने के लिए करते हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0।

भारतीय गिनती में बहुत अच्छे थे। वे गुणा करने का एक बहुत ही सरल तरीका लेकर आए। उन्होंने सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू करके गुणन किया और गुणक के ठीक ऊपर अपूर्ण उत्पादों को थोड़ा-थोड़ा करके लिखा। इस मामले में, संपूर्ण उत्पाद का सबसे महत्वपूर्ण अंक तुरंत दिखाई दे रहा था और इसके अलावा, किसी भी अंक की चूक समाप्त हो गई थी। गुणन चिह्न अभी तक ज्ञात नहीं था, इसलिए उन्होंने गुणनखंडों के बीच थोड़ी दूरी छोड़ दी। उदाहरण के लिए, आइए विधि 537 का उपयोग करके उन्हें 6 से गुणा करें:

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222. उत्तर: 3222

3.6. गुणन की ज्यामितीय विधि

यह विधि एक ज्यामितीय आकृति - एक वृत्त का उपयोग करती है।

आइए सबसे पहले इस विधि को एक उदाहरण से देखें। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 13 को 24 से गुणा करें।

1) वृत्त बनाएं। चूँकि पहला गुणनखंड दो अंकों की संख्या है, तो दो पंक्तियाँ हैं; दूसरा गुणनखंड भी दो अंकों की संख्या है, फिर दो कॉलम हैं। तो पहले गुणनखंड में दहाई की संख्या 1 है, फिर पहली पंक्ति में हम एक समय में एक वृत्त खींचते हैं, यानी हम कुछ भी नहीं बदलते हैं। चूँकि पहले गुणनखंड की इकाइयों की संख्या 3 है, तो दूसरी पंक्ति में हम तीन वृत्त खींचते हैं। (चित्र 4)।

चावल। 4

2) दूसरा कारक संख्या 24 है, तो पहले कॉलम में जो सर्कल हैं उन्हें दो भागों में विभाजित किया गया है, और दूसरे कॉलम में जो सर्कल हैं उन्हें चार भागों में विभाजित किया गया है

(चित्र 5)।

चावल। 5

3) सीधी रेखाएँ खींचें और बिंदु गिनें (चित्र 6)।

चावल। 6 चित्र. 7

उत्तर इस प्रकार लिखा गया है (चित्र 7), नीचे से ऊपर तक देखें, अंकों की संख्या 12 है, 2 परिणाम का अंतिम अंक है, एक को ध्यान में रखें, दूसरे क्षेत्र में अंकों की संख्या 10 है और +1, फिर 11, 1 लिखा है और एक मन में, तीसरे क्षेत्र में अंकों की संख्या 2 और +1, कुल 3. उत्तर: 312.

मैंने इस तरह से कई उदाहरण हल किये। फिर मैंने विशेष उदाहरणों को सामान्यीकृत किया औरएक निष्कर्ष निकाला - नियम:

1.वृत्त बनाएं. पहले गुणक में अंकों की संख्या का अर्थ पंक्तियों की संख्या है, और दूसरे गुणक में अंकों की संख्या का अर्थ स्तंभों की संख्या है।

यदि संख्या में 0 है, तो बिंदीदार रेखा से शून्य दर्शाने वाला एक वृत्त बनाएं। यह एक काल्पनिक रेखा है इस पर कोई बिंदु नहीं है।

2.पहले गुणक का पहला अंक मतलब पहली पंक्ति में संकेंद्रित वृत्तों की संख्या, पहले गुणक का दूसरा अंक मतलब दूसरी पंक्ति में वृत्तों की संख्या

3. दूसरे गुणक की संख्याओं का मतलब है कि वृत्तों को कितने भागों में विभाजित किया जाना चाहिए: पहली संख्या पहले कॉलम के लिए है, दूसरी संख्या दूसरे के लिए है, आदि।

4. हमें वृत्त भागों में विभाजित मिलते हैं। हम प्रत्येक भाग में एक अवधि डालते हैं।

6. हम उदाहरण में चर्चा किए गए सिद्धांत के अनुसार उत्तर लिखते हैं।

3.6. अपनी उंगलियों पर 9 से गुणा करने का एक मूल तरीका

संख्या 9 के लिए गुणन- 9·1, 9·2 ... 9·10 - स्मृति से भूलना आसान है और जोड़ विधि का उपयोग करके मैन्युअल रूप से पुनर्गणना करना अधिक कठिन है, हालांकि, विशेष रूप से संख्या 9 के लिए, गुणा आसानी से "उंगलियों पर" पुन: प्रस्तुत किया जाता है। अपनी उंगलियों को दोनों हाथों पर फैलाएं और अपनी हथेलियों को अपने से दूर रखते हुए अपने हाथों को मोड़ें। मानसिक रूप से अपनी उंगलियों को 1 से 10 तक संख्याएं निर्दिष्ट करें, जो आपके बाएं हाथ की छोटी उंगली से शुरू होती है और आपके दाहिने हाथ की छोटी उंगली पर समाप्त होती है (यह चित्र में दिखाया गया है)।

मान लीजिए हम 9 को 6 से गुणा करना चाहते हैं। हम जिस संख्या से नौ को गुणा करेंगे उसके बराबर संख्या वाली उंगली को मोड़ते हैं। हमारे उदाहरण में, हमें संख्या 6 वाली उंगली को मोड़ने की आवश्यकता है। मुड़ी हुई उंगली के बाईं ओर की उंगलियों की संख्या हमें उत्तर में दहाई की संख्या दिखाती है, दाईं ओर की उंगलियों की संख्या इकाई की संख्या को दर्शाती है। बाईं ओर हमारी 5 उंगलियां हैं जो मुड़ी हुई नहीं हैं, दाईं ओर - 4 उंगलियां हैं। इस प्रकार, 9·6=54. नीचे दिया गया चित्र "गणना" के संपूर्ण सिद्धांत को विस्तार से दर्शाता है।

3.7.आधुनिक ओकोनेश्निकोव विधि

दिलचस्प गुणन की एक नई विधि जो हाल ही में रिपोर्ट की गई है। आविष्कारक नई प्रणालीमौखिक गणना, दार्शनिक विज्ञान के उम्मीदवार वासिली ओकोनेश्निकोव का दावा है कि एक व्यक्ति बड़ी मात्रा में जानकारी को याद रखने में सक्षम है, मुख्य बात यह है कि इस जानकारी को कैसे व्यवस्थित किया जाए। स्वयं वैज्ञानिक के अनुसार, इस संबंध में सबसे लाभप्रद नौ-गुना प्रणाली है - सभी डेटा को बस नौ कोशिकाओं में रखा जाता है, जो कैलकुलेटर पर बटन की तरह स्थित होते हैं।

ऐसी तालिका का उपयोग करके गणना करना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 15647 को 5 से गुणा करें। तालिका के पांच से संबंधित भाग में, संख्या के अंकों के अनुरूप संख्याओं को क्रम से चुनें: एक, पांच, छह, चार और सात। हमें मिलता है: 05 25 30 20 35

हम बाएं अंक (हमारे उदाहरण में शून्य) को अपरिवर्तित छोड़ते हैं, और निम्नलिखित संख्याओं को जोड़े में जोड़ते हैं: दो के साथ पांच, तीन के साथ पांच, दो के साथ शून्य, तीन के साथ शून्य। अंतिम अंक भी अपरिवर्तित है.

परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है: 078235। संख्या 78235 गुणन का परिणाम है।

यदि दो अंकों को जोड़ने पर नौ से बड़ी संख्या प्राप्त होती है, तो उसका पहला अंक परिणाम के पिछले अंक में जोड़ दिया जाता है, और दूसरे को उसके "अपने" स्थान पर लिखा जाता है।

तृतीय. निष्कर्ष।

मुझे सबसे सरल तरीका "दोहरा करना और विभाजित करना" लगा, जिसका उपयोग रूसी किसानों द्वारा किया जाता था। मैं इसका उपयोग तब करता हूं जब बहुत बड़ी संख्याओं को गुणा नहीं किया जाता (दो अंकों वाली संख्याओं को गुणा करते समय इसका उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है)।

मुझे गुणन की नई पद्धति में दिलचस्पी थी, क्योंकि यह मुझे अपने दिमाग में बड़ी संख्याओं को "उछालने" की अनुमति देती है।

मुझे लगता है कि कॉलम से गुणा करने की हमारी विधि सही नहीं है और हम और भी तेज़ और अधिक विश्वसनीय तरीकों के साथ आ सकते हैं।

साहित्य।

डेपमैन आई. "गणित के बारे में कहानियाँ।" – लेनिनग्राद: शिक्षा, 1954. – 140 पी.

कोर्निव ए.ए. रूसी गुणन की घटना। कहानी। http://numbernautics.ru/

ओलेहनिक एस.एन., नेस्टरेंको यू.वी., पोटापोव एम.के. "पुरानी मनोरंजक समस्याएं।" - एम.: विज्ञान. भौतिक और गणितीय साहित्य का मुख्य संपादकीय कार्यालय, 1985। - 160 पी।

पेरेलमैन वाई.आई. त्वरित गिनती. तीस सरल मानसिक गिनती तकनीकें। एल., 1941 - 12 पी.

पेरेलमैन वाई.आई. दिलचस्प अंकगणित. एम. रुसानोवा, 1994-205 पी.

विश्वकोश “मैं दुनिया का अन्वेषण करता हूँ। अंक शास्त्र"। - एम.: एस्ट्रेल एर्मक, 2004।

बच्चों के लिए विश्वकोश. "अंक शास्त्र"। - एम.: अवंता+, 2003. - 688 पी.