Le equazioni trigonometriche più semplici sono le equazioni
Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a
Equazione cos(x) = a
Spiegazione e motivazione
- Le radici dell'equazione cosx = a. Quando | un | > 1 l'equazione non ha radici perché | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 o a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Lasciate | un |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. Sull'intervallo, la funzione y = cos x diminuisce da 1 a -1. Ma una funzione decrescente assume ciascuno dei suoi valori solo in un punto del suo dominio di definizione, quindi l'equazione cos x = a ha una sola radice su questo intervallo, che, per definizione dell'arcocoseno, è: x 1 = arccos a (e per questa radice cos x = a).
Il coseno è una funzione pari, quindi sull'intervallo [-n; 0] l'equazione cos x = e ha anche una sola radice - il numero opposto a x 1, cioè
x 2 = -arcos a.
Quindi, sull'intervallo [-n; n] (lunghezza 2n) l'equazione cos x = a per | un |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
La funzione y = cos x è periodica con un periodo di 2n, quindi tutte le altre radici differiscono da quelle trovate per 2np (n € Z). Otteniamo la seguente formula per le radici dell'equazione cos x = e quando
x = ± arccos a + 2n, n £ Z.
- Casi particolari di risoluzione dell'equazione cosx = a.
È utile ricordare la notazione speciale per le radici dell'equazione cos x = a quando
a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, che può essere facilmente ottenuto utilizzando il cerchio unitario come guida.
Poiché il coseno è uguale all'ascissa del punto corrispondente sulla circonferenza unitaria, otteniamo che cos x = 0 se e solo se il punto corrispondente sulla circonferenza unitaria è il punto A o il punto B.
Allo stesso modo, cos x = 1 se e solo se il punto corrispondente della circonferenza unitaria è il punto C, quindi,
x = 2πp, k€ Z.
Anche cos x \u003d -1 se e solo se il punto corrispondente della circonferenza unitaria è il punto D, quindi x \u003d n + 2n,
Equazione sin(x) = a
Spiegazione e motivazione
- Le radici dell'equazione sinx = a. Quando | un | > 1 l'equazione non ha radici perché | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 o a< -1 не пересекает график функции y = sinx).
I metodi principali per risolvere le equazioni trigonometriche sono: ridurre le equazioni a quelle più semplici (usando formule trigonometriche), introdurre nuove variabili e fattorizzare. Consideriamo la loro applicazione con esempi. Prestare attenzione alla progettazione della soluzione delle equazioni trigonometriche.
Una condizione necessaria per la riuscita soluzione delle equazioni trigonometriche è la conoscenza delle formule trigonometriche (argomento 13 del lavoro 6).
Esempi.
1. Equazioni che si riducono al più semplice.
1) Risolvi l'equazione
Soluzione:
Risposta:
2) Trova le radici dell'equazione
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx appartenente al segmento .
Soluzione:
Risposta:
2. Equazioni che si riducono a equazioni quadratiche.
1) Risolvi l'equazione 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.
Soluzione: Usando la formula sin 2 x \u003d 1 - cos 2 x, otteniamo
Risposta:
2) Risolvi l'equazione cos 2x = 1 + 4 cosx.
Soluzione: Usando la formula cos 2x = 2 cos 2 x - 1, otteniamo
Risposta:
3) Risolvi l'equazione tgx - 2ctgx + 1 = 0
Soluzione:
Risposta:
3. Equazioni omogenee
1) Risolvi l'equazione 2sinx - 3cosx = 0
Soluzione: Sia cosx = 0, quindi 2sinx = 0 e sinx = 0 - una contraddizione con il fatto che sin 2 x + cos 2 x = 1. Quindi cosx ≠ 0 e puoi dividere l'equazione per cosx. Ottenere
Risposta:
2) Risolvi l'equazione 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Soluzione:
Usando le formule 1 = sin 2 x + cos 2 x e sin 2x = 2 sinxcosx, otteniamo
sin2x + cos2x + 7cos2x = 6sinxcosx
sin2x - 6sinxcosx+ 8cos2x = 0
Sia cosx = 0, quindi sin 2 x = 0 e sinx = 0 - una contraddizione con il fatto che sin 2 x + cos 2 x = 1.
Quindi cosx ≠ 0 e possiamo dividere l'equazione per cos 2 x .
Ottenere
tg 2x – 6 tgx + 8 = 0
Denota tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2=2
a) tanx = 4, x= arctg4 + 2 K, K
b) tgx = 2, x= arctg2 + 2 K, K .
Risposta: arctg4 + 2 K, arctan2 + 2 k, k
4. Equazioni della forma un sinx + b cosx = con con≠ 0.
1) Risolvi l'equazione.
Soluzione:
Risposta:
5. Equazioni risolte per fattorizzazione.
1) Risolvi l'equazione sin2x - sinx = 0.
La radice dell'equazione f (X) = φ ( X) può servire solo come numero 0. Controlliamo questo:
cos 0 = 0 + 1 - l'uguaglianza è vera.
Il numero 0 è l'unica radice di questa equazione.
Risposta: 0.
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Un'uguaglianza contenente un'incognita sotto il segno di una funzione trigonometrica (`sin x, cos x, tg x` o `ctg x`) è chiamata equazione trigonometrica e considereremo ulteriormente le loro formule.
Le equazioni più semplici sono `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, dove `x` è l'angolo da trovare, `a` è un numero qualsiasi. Scriviamo le formule radice per ciascuno di essi.
1. Equazione `sin x=a`.
Per `|a|>1` non ha soluzioni.
Con `|a| \leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.
Formula radice: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Equazione `cos x=a`
Per `|a|>1` - come nel caso del seno, non ci sono soluzioni tra i numeri reali.
Con `|a| \leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.
Formula radice: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Casi speciali per seno e coseno nei grafici. 
3. Equazione `tg x=a`
Ha un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di `a`.
Formula radice: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Equazione `ctg x=a`
Ha anche un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di `a`.
Formula radice: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formule per le radici delle equazioni trigonometriche nella tabella
Per seno: 
Per coseno: 
Per tangente e cotangente: 
Formule per la risoluzione di equazioni contenenti funzioni trigonometriche inverse:
Metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche
La soluzione di qualsiasi equazione trigonometrica consiste in due fasi:
- usando per convertirlo nel più semplice;
- risolvere la semplice equazione risultante usando le formule precedenti per le radici e le tabelle.
Consideriamo i principali metodi di soluzione usando esempi.
metodo algebrico.
In questo metodo viene eseguita la sostituzione di una variabile e la sua sostituzione in uguaglianza.
Esempio. Risolvi l'equazione: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
fare una sostituzione: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, quindi `2y^2-3y+1=0`,
troviamo le radici: `y_1=1, y_2=1/2`, da cui seguono due casi:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Risposta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Fattorizzazione.
Esempio. Risolvi l'equazione: `sin x+cos x=1`.
Soluzione. Sposta a sinistra tutti i termini di uguaglianza: `sin x+cos x-1=0`. Usando , trasformiamo e fattorizziamo il lato sinistro:
`peccato x - 2peccato^2 x/2=0`,
`2peccato x/2 cos x/2-2peccato^2 x/2=0`,
`2peccato x/2 (cos x/2-peccato x/2)=0`,
- `peccato x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Risposta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Riduzione ad un'equazione omogenea
Innanzitutto, devi portare questa equazione trigonometrica in una delle due forme seguenti:
`a sin x+b cos x=0` (equazione omogenea di primo grado) o `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (equazione omogenea di secondo grado).
Quindi dividi entrambe le parti per `cos x \ne 0` per il primo caso e per `cos^2 x \ne 0` per il secondo. Otteniamo le equazioni per `tg x`: `a tg x+b=0` e `a tg^2 x + b tg x +c =0`, che devono essere risolte usando metodi noti.
Esempio. Risolvi l'equazione: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Soluzione. Scriviamo il lato destro come `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+peccato x cos x — cos^2 x=` `peccato^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+peccato x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`peccato^2 x+peccato x cos x - 2 cos^2 x=0`.
Questa è un'equazione trigonometrica omogenea di secondo grado, dividendo i suoi lati sinistro e destro per `cos^2 x \ne 0`, otteniamo:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x - 2=0`. Introduciamo la sostituzione `tg x=t`, come risultato `t^2 + t - 2=0`. Le radici di questa equazione sono `t_1=-2` e `t_2=1`. Quindi:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Risposta. `x_1=arco (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Vai a Mezzo angolo
Esempio. Risolvi l'equazione: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Soluzione. Applicando le formule del doppio angolo, il risultato è: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`
Applicando il metodo algebrico sopra descritto, otteniamo:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Risposta. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arco 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Introduzione di un angolo ausiliario
Nell'equazione trigonometrica `a sin x + b cos x =c`, dove a,b,c sono coefficienti e x è una variabile, dividiamo entrambe le parti per `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.
I coefficienti sul lato sinistro hanno le proprietà di seno e coseno, cioè la somma dei loro quadrati è 1 e il loro modulo è al massimo 1. Indichiamoli come segue: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , poi:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Diamo un'occhiata più da vicino al seguente esempio:
Esempio. Risolvi l'equazione: `3 sin x+4 cos x=2`.
Soluzione. Dividendo entrambi i membri dell'equazione per `sqrt (3^2+4^2)`, otteniamo:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Denota `3/5 = cos \varphi` , `4/5=peccato \varphi`. Poiché `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, prendiamo `\varphi=arcsin 4/5` come angolo ausiliario. Quindi scriviamo la nostra uguaglianza nella forma:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Applicando la formula per la somma degli angoli per il seno, scriviamo la nostra uguaglianza nella forma seguente:
`peccato(x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Risposta. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Equazioni trigonometriche frazionario-razionali
Si tratta di uguaglianze con frazioni, nei cui numeratori e denominatori sono presenti funzioni trigonometriche.
Esempio. Risolvi l'equazione. `\frac (peccato x)(1+cos x)=1-cos x`.
Soluzione. Moltiplica e dividi il lato destro dell'equazione per `(1+cos x)`. Di conseguenza, otteniamo:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Dato che il denominatore non può essere zero, otteniamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Uguaglia il numeratore della frazione a zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Quindi `sin x=0` o `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-peccato x=0`, `peccato x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Dato che ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, le soluzioni sono `x=2\pi n, n \in Z` e `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Risposta. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
La trigonometria, e in particolare le equazioni trigonometriche, sono utilizzate in quasi tutte le aree della geometria, della fisica e dell'ingegneria. Lo studio inizia al decimo anno, ci sono sempre compiti per l'esame, quindi cerca di ricordare tutte le formule delle equazioni trigonometriche: ti torneranno sicuramente utili!
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