सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण समीकरण हैं

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

समीकरण cos(x) = a

स्पष्टीकरण और तर्क

1. समीकरण के मूल cosx = a. कब | ए | > 1 समीकरण का कोई मूल नहीं है क्योंकि | कॉसक्स |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 या एक पर< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

चलो | ए |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

वाई = कॉस एक्स। अंतराल पर फलन y = cos x 1 से घटकर -1 हो जाता है। लेकिन एक घटता हुआ फलन अपने प्रत्येक मान को परिभाषा के अपने डोमेन के केवल एक बिंदु पर लेता है, इसलिए समीकरण cos x = a का इस अंतराल पर केवल एक मूल है, जो चाप कोसाइन की परिभाषा के अनुसार है: x 1 = arccos a (और इस मूल के लिए cos x = a)।

कोसाइन एक सम फलन है, इसलिए अंतराल पर [-n; 0] समीकरण cos x = और इसका केवल एक मूल है - x 1 के विपरीत संख्या, जो है

एक्स 2 = -आर्कोस ए।

इस प्रकार, अंतराल पर [-n; n] (लंबाई 2n) समीकरण cos x = a for | ए |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

फ़ंक्शन y = cos x 2n की अवधि के साथ आवधिक है, इसलिए अन्य सभी जड़ें 2np (n € Z) से भिन्न होती हैं। हम समीकरण के मूलों के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त करते हैं क्योंकि x = और कब

एक्स = ± आर्ककोस ए + 2एन, एन £ जेड।

1. समीकरण cosx = a को हल करने के विशेष मामले।

समीकरण के मूलों के लिए विशेष अंकन याद रखना उपयोगी है क्योंकि x = a कब

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, जिसे एक गाइड के रूप में यूनिट सर्कल का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

चूँकि कोसाइन इकाई वृत्त पर संबंधित बिंदु के भुज के बराबर है, हमें वह cos x = 0 प्राप्त होता है यदि और केवल यदि इकाई वृत्त पर संगत बिंदु बिंदु A या बिंदु B हो।

इसी प्रकार, cos x = 1 यदि और केवल यदि इकाई वृत्त का संगत बिंदु बिंदु C है, इसलिए,

x = 2πp, k € Z।

साथ ही cos x \u003d -1 यदि और केवल यदि इकाई वृत्त का संगत बिंदु बिंदु D है, इस प्रकार x \u003d n + 2n,

समीकरण sin(x) = a

स्पष्टीकरण और तर्क

1. समीकरण sinx = a के मूल कब | ए | > 1 समीकरण का कोई मूल नहीं है क्योंकि | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 या एक पर< -1 не пересекает график функции y = sinx).

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ हैं: समीकरणों को सरलतम समीकरणों में कम करना (त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना), नए चरों को प्रस्तुत करना और फैक्टरिंग। आइए उदाहरणों के साथ उनके आवेदन पर विचार करें। त्रिकोणमितीय समीकरणों के हल के डिजाइन पर ध्यान दें।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के सफल समाधान के लिए एक आवश्यक शर्त त्रिकोणमितीय सूत्रों का ज्ञान है (कार्य 6 का विषय 13)।

उदाहरण।

1. सरलतम को कम करने वाले समीकरण।

1) समीकरण हल करें

समाधान:

उत्तर:

2) समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx खंड से संबंधित है।

समाधान:

उत्तर:

2. द्विघात समीकरणों को कम करने वाले समीकरण।

1) समीकरण 2 sin 2 x - cosx -1 = 0 को हल करें।

समाधान:सूत्र पाप 2 x \u003d 1 - cos 2 x का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

उत्तर:

2) समीकरण को हल करें क्योंकि 2x = 1 + 4 cosx।

समाधान:सूत्र cos 2x = 2 cos 2 x - 1 का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है

उत्तर:

3) समीकरण tgx - 2ctgx + 1 = 0 . को हल करें

समाधान:

उत्तर:

3. सजातीय समीकरण

1) समीकरण को हल करें 2sinx - 3cosx = 0

हल: मान लीजिए cosx = 0, फिर 2sinx = 0 और sinx = 0 - इस तथ्य के साथ एक विरोधाभास है कि sin 2 x + cos 2 x = 1. तो cosx 0 और आप समीकरण को cosx से विभाजित कर सकते हैं। प्राप्त

उत्तर:

2) समीकरण 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x . हल कीजिए

समाधान:

सूत्र 1 = sin 2 x + cos 2 x और sin 2x = 2 sinxcosx का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

sin2x + cos2x + 7cos2x = 6sinxcosx
sin2x - 6sinxcosx+ 8cos2x = 0

मान लीजिए cosx = 0, तो sin 2 x = 0 और sinx = 0 - इस तथ्य के साथ एक विरोधाभास है कि sin 2 x + cos 2 x = 1।
तो cosx 0 और हम समीकरण को cos 2 x . से विभाजित कर सकते हैं . प्राप्त

टीजी 2x - 6 टीजीएक्स + 8 = 0
निरूपित tgx = y
वाई 2 - 6 वाई + 8 = 0
वाई 1 = 4; y2=2
ए) टैनक्स = 4, एक्स = आर्कटीजी 4 + 2 क, क
बी) टीजीएक्स = 2, एक्स = आर्कटीजी 2 + 2 क, क .

उत्तर:आर्कटीजी4 + 2 क, आर्कटिक 2 + 2 कश्मीर, के

4. फॉर्म के समीकरण एक sinx + बीकॉसक्स = साथ साथ≠ 0.

1) समीकरण को हल करें।

समाधान:

उत्तर:

5. गुणनखंड द्वारा हल किए गए समीकरण।

1) समीकरण sin2x - sinx = 0 को हल करें।

समीकरण की जड़ एफ (एक्स) = φ ( एक्स) केवल संख्या 0 के रूप में कार्य कर सकता है। आइए इसे जांचें:

cos 0 = 0 + 1 - समानता सत्य है।

संख्या 0 इस समीकरण का एकमात्र मूल है।

उत्तर: 0.

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एक त्रिकोणमितीय फलन (`sin x, cos x, tg x` या `ctg x`) के चिह्न के तहत अज्ञात वाली समानता को त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है, और हम उनके सूत्रों पर आगे विचार करेंगे।

सबसे सरल समीकरण हैं `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जहां `x` पाया जाने वाला कोण है, `a` कोई भी संख्या है। आइए उनमें से प्रत्येक के लिए मूल सूत्र लिखें।

1. समीकरण `sin x=a`।

`|a|>1` के लिए इसका कोई समाधान नहीं है।

`|ए| . के साथ \leq 1` के अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` के लिए - जैसा कि ज्या के मामले में होता है, वास्तविक संख्याओं के बीच कोई हल नहीं होता है।

`|ए| . के साथ \leq 1` के अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

रेखांकन में साइन और कोसाइन के लिए विशेष मामले।

3. समीकरण `tg x=a`

`ए` के किसी भी मान के लिए अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

इसमें `ए` के किसी भी मूल्य के लिए अनंत समाधान भी हैं।

मूल सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

तालिका में त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के लिए सूत्र

साइनस के लिए:
कोसाइन के लिए:
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए:
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले समीकरणों को हल करने के सूत्र:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण के हल में दो चरण होते हैं:

• इसे सरलतम में बदलने के लिए उपयोग करना;
• मूलों और तालिकाओं के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके परिणामी सरल समीकरण को हल करें।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके समाधान के मुख्य तरीकों पर विचार करें।

बीजगणितीय विधि।

इस पद्धति में, एक चर का प्रतिस्थापन और समानता में उसका प्रतिस्थापन किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

एक प्रतिस्थापन करें: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, फिर `2y^2-3y+1=0`,

हमें जड़ें मिलती हैं: `y_1=1, y_2=1/2`, जिसमें से दो मामले अनुसरण करते हैं:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`।

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।

गुणनखंडन।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `sin x+cos x=1`।

समाधान। समानता के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: `sin x+cos x-1=0`। का उपयोग करते हुए, हम बाईं ओर को रूपांतरित और गुणनखंडित करते हैं:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`।
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

एक सजातीय समीकरण में कमी

सबसे पहले, आपको इस त्रिकोणमितीय समीकरण को दो रूपों में से एक में लाना होगा:

`a sin x+b cos x=0` (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण) या `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

फिर पहले मामले के लिए दोनों भागों को `cos x \ne 0` और दूसरे के लिए `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करें। हमें `tg x`: `a tg x+b=0` और `a tg^2 x + b tg x +c =0` के समीकरण मिलते हैं, जिन्हें ज्ञात विधियों का उपयोग करके हल किया जाना चाहिए।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`।

समाधान। आइए दाईं ओर को `1=sin^2 x+cos^2 x` के रूप में लिखें:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`।

यह दूसरी डिग्री का एक समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण है, इसके बाएँ और दाएँ पक्षों को `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`टीजी^2 एक्स+टीजी एक्स - 2=0`। आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें `tg x=t`, परिणामस्वरूप `t^2 + t - 2=0`। इस समीकरण की जड़ें हैं `t_1=-2` तथा `t_2=1`। फिर:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।

उत्तर। `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`।

हाफ कॉर्नर पर जाएं

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `11 sin x - 2 cos x = 10`।

समाधान। द्विकोण सूत्रों को लागू करने पर परिणाम होता है: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 टीजी^2 एक्स/2 - 11 टीजी एक्स/2 +6=0`

ऊपर वर्णित बीजगणितीय विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

उत्तर। `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

एक सहायक कोण का परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरण में `a sin x + b cos x =c`, जहां a,b,c गुणांक हैं और x एक चर है, हम दोनों भागों को `sqrt (a^2+b^2)` से विभाजित करते हैं:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x + `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x = `\frac c(sqrt (a^2) +बी^2))`।

बाईं ओर के गुणांक में साइन और कोसाइन के गुण होते हैं, अर्थात्, उनके वर्गों का योग 1 होता है और उनका मापांक अधिकतम 1 होता है। आइए उन्हें निम्नानुसार निरूपित करें: \frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , फिर:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`।

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `3 sin x+4 cos x=2`।

समाधान। समीकरण के दोनों पक्षों को `sqrt (3^2+4^2)` ​​से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+`\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))= `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 पाप x+4/5 क्योंकि x=2/5`।

निरूपित करें `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`। चूँकि `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, हम सहायक कोण के रूप में `\varphi=arcsin 4/5` लेते हैं। तब हम अपनी समानता को रूप में लिखते हैं:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

ज्या के कोणों के योग के सूत्र को लागू करते हुए, हम अपनी समानता को निम्न रूप में लिखते हैं:

`पाप(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

उत्तर। `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

भिन्नात्मक-तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण

ये अंशों और हरों में भिन्नों के साथ समानताएं हैं जिनमें त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं।

उदाहरण। प्रश्न हल करें। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`।

समाधान। समीकरण के दाहिने पक्ष को `(1+cos x)` से गुणा और विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` \frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` \frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` \frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

यह देखते हुए कि हर शून्य नहीं हो सकता, हमें मिलता है `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`।

भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करें: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`। फिर `sin x=0` या `1-sin x=0`।

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।

यह देखते हुए कि ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, समाधान हैं `x=2\pi n, n \in Z` तथा `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`।

उत्तर। `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।

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