§ 1.1 में प्रस्तुत प्रक्षेपण विधियाँ आपको किसी दिए गए ज्यामितीय छवि (मूल) के अनुसार छवियां (अनुमान) बनाने की अनुमति देती हैं, अर्थात। वर्णनात्मक ज्यामिति की सीधी समस्या का समाधान करें। लेकिन कई मामलों में, व्युत्क्रम समस्या का समाधान प्रदान किया जाता है, जिसमें प्रक्षेपण विमान पर इसके प्रक्षेपण के अनुसार अंतरिक्ष में मूल का निर्माण शामिल होता है।

इस प्रकार, उपरोक्त प्रक्षेपण चित्र (चित्र 3, चित्र 6, चित्र 7, चित्र 9 देखें) मूल को पुनर्स्थापित करने की अनुमति नहीं देते हैं, अर्थात। "प्रतिवर्तीता" गुण नहीं है.

वर्णनात्मक ज्यामिति में प्रयुक्त प्रतिवर्ती रेखाचित्र के निर्माण की योजना पर विचार करें।

ऑर्थोग्राफ़िक प्रक्षेपण समानांतर प्रक्षेपण का एक विशेष मामला है, जब प्रक्षेपण दिशा प्रक्षेपण विमान के लंबवत (ऑर्थोगोनल) होती है: एस^पी मैं .

ड्राइंग में ऑर्थोग्राफ़िक प्रोजेक्शन मुख्य है, क्योंकि। इसमें बड़ी स्पष्टता है और यह प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष ज्यामितीय छवियों की एक निश्चित व्यवस्था के साथ, मूल के कई रैखिक और कोणीय मापदंडों को संरक्षित करने की अनुमति देता है।

फ्रांसीसी जियोमीटर गैसपार्ड मोंज ने मूल को दो परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमानों पी 1 और पी 2 पर ऑर्थोगोनल रूप से प्रक्षेपित करने का सुझाव दिया।

एक्स

चावल। 11 चित्र. 12

पी 1 - प्रक्षेपण का क्षैतिज तल; पी 2 - ललाट प्रक्षेपण विमान; एक्स = पी 1 Ⴖ पी 2।

प्रक्षेपण तल अंतरिक्ष को चार भागों (या चतुर्थांश) में विभाजित करते हैं। क्वार्टरों को चित्र में दिखाए गए क्रम में क्रमांकित किया गया है। 11. समन्वय प्रणाली को इस शर्त से चुना जाता है कि समन्वय विमान प्रक्षेपण विमानों के साथ मेल खाते हैं। अंजीर पर. 12 एक बिंदु का प्रक्षेपण दर्शाता है एसमतल पी 1 और पी 2 पर। प्रक्षेपण किरणें आ 1 और आ 2 संगत प्रक्षेपण विमानों के लंबवत हैं, इसलिए ललाट ( ए 2) और क्षैतिज ( ए 1) बिंदु प्रक्षेपण एलम्बवत् पर हैं ए 1 ए एक्सऔर ए 2 ए एक्स प्रक्षेपण अक्ष एक्स के लिए।

प्रक्षेपण विमान पी 1 को एक्स अक्ष के चारों ओर 90 0 के कोण पर घुमाते हुए (चित्र 13), हमें एक विमान मिलता है - ड्राइंग का विमान, प्रक्षेपण ए 1और ए 2प्रक्षेपण अक्ष x - संचार लाइनों के एक लंबवत पर स्थित है। प्रक्षेपण विमानों पी 1 और पी 2 के संयोजन के परिणामस्वरूप, एक चित्र प्राप्त होता है, जिसे मोंज आरेख कहा जाता है। मोंगे के आरेख को आधुनिक साहित्य में एक जटिल रेखाचित्र भी कहा जाता है। यह एक रेखाचित्र है जिसमें एक ज्यामितीय छवि के दो या दो से अधिक परस्पर जुड़े हुए प्रक्षेपण शामिल हैं। भविष्य में मोन्गे के रेखाचित्रों को एक शब्द में कहा जायेगा-चित्रण।

चावल। 13 चित्र. 14

चूँकि प्रक्षेपण तल असीमित हैं, बिंदु रेखांकन एपी 1/पी 2 सिस्टम में यह अंजीर जैसा दिखेगा। 14.

ए 2 ए एक्स-बिंदु से दूरी एप्रक्षेपण तल तक पी 1 ;

ए 1 ए एक्स-बिंदु से दूरी एप्रक्षेपणों के तल तक П 2 .

इसलिए, बिंदु के प्रक्षेपण एदो प्रक्षेपण विमानों पर अंतरिक्ष में इसकी स्थिति पूरी तरह से निर्धारित होती है।

आगे के तर्क को सरल बनाने के लिए, हम प्रक्षेपण П 3 के प्रोफ़ाइल विमान के बाईं ओर स्थित स्थान के केवल भाग पर विचार करेंगे।

पी 3 - अनुमानों का प्रोफाइल विमान; जेड= पी 2 Ⴖ पी 3; जेड- y-अक्ष. प्रक्षेपण तल P 3, P 1 P 2 के लंबवत है।

अंजीर पर. 15 संबंधित समन्वय अक्षों के चारों ओर प्रक्षेपण विमानों पी 3 और पी 1 के 90 0 के कोण के माध्यम से घूमने की दिशा दिखाता है जब तक कि पी 2 के साथ संरेखित न हो जाए।

अंजीर से. 15 हम देखते हैं कि अक्ष एक्सक्षैतिज प्रक्षेपण विमान पी 1 को दो भागों में विभाजित करता है: सामने का तल पी 1 (अक्ष)। एक्सऔर वाई) और पीछे की मंजिल पी 1 (अक्ष)। एक्सऔर वाई).

सूच्याकार आकृति का भुज एक्सप्रक्षेपणों के ललाट तल P 2 को भी दो भागों में विभाजित करता है: ऊपरी तल P 2 (X और Z अक्ष) और निचला तल (अक्ष) एक्सऔर -जेड).

	चावल। 16

अंजीर से. 15 यह देखा जा सकता है कि अंतरिक्ष के विभिन्न भागों में स्थित बिंदुओं में निर्देशांक के कुछ निश्चित चिह्न होते हैं। ये संकेत तालिका में दिखाए गए हैं।

बिंदु प्रक्षेपणों का निर्माण एपी 1 / पी 2 / पी 3 प्रणाली में अंजीर में दिखाया गया है। 17

चावल। 17 चित्र. 18

ओए एक्स- एक बिंदु हटाना एअनुमानों के प्रोफ़ाइल तल से;

ए 3- एक बिंदु का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण ए;

ए 1 ए एक्स ए 2, ए 2 ए जेड ए 3- संचार लाइनें.

ड्राइंग में, बिंदु के ललाट और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण अक्ष के लंबवत एक ही संचार रेखा पर स्थित हैं जेड, और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण अक्ष से समान दूरी पर है जेड, जो x-अक्ष से क्षैतिज है: ए जेड ए 3 = ए एक्स ए 1.

क्षैतिज बिंदु प्रक्षेपण ए 1निर्देशांक द्वारा निर्धारित एक्सऔर वाई

ललाट ए 2- निर्देशांक एक्सऔर जेड, प्रोफाइल पी 3 - निर्देशांक वाई और जेड.

प्रक्षेपण तलों के सापेक्ष, एक बिंदु निम्नलिखित स्थितियों पर कब्जा कर सकता है:

1. बिंदु अंतरिक्ष के किसी भी चौथाई में स्थित है, जबकि शर्त अनिवार्य है कि X ≠ 0; वाई ≠ 0; जेड ¹ 0.
2. बिंदु किसी भी प्रक्षेपण तल से संबंधित है, बशर्ते कि निर्देशांकों में से एक "0" के बराबर होना चाहिए।

ए Î पी 1 यदि Ζ = 0;

ए Î पी 2 यदि वाई = 0;

А О П 3 यदि Х = 0.

3. यदि कोई दो निर्देशांक "0" के बराबर हैं तो बिंदु निर्देशांक अक्ष से संबंधित है।

ए Î एक्स, यदि वाई = 0; जेड = 0;

А н U यदि Х = 0; जेड = 0;

ए Î जेड, यदि एक्स = 0; वाई = 0.

1. स्पंज विधि. जटिल रेखांकन.

एम.एम. - दो परस्पर लंबवत विमानों पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण का उपयोग करके किसी वस्तु का चित्र बनाने की एक विधि।

किसी वस्तु की छवि बनाने के लिए, पहले उसके व्यक्तिगत तत्वों को अंतरिक्ष के सबसे सरल तत्वों के रूप में चित्रित करें। इसलिए, एक ज्यामितीय निकाय का चित्रण करते हुए, किसी को उसके शीर्षों का निर्माण करना चाहिए, जो बिंदुओं द्वारा दर्शाए गए हों; किनारों को सीधी और घुमावदार रेखाओं द्वारा दर्शाया गया है; विमानों आदि द्वारा दर्शाए गए चेहरे।

इंजीनियरिंग ग्राफिक्स में चित्रों पर चित्र बनाने के नियम प्रक्षेपण विधि पर आधारित हैं। एक ज्यामितीय निकाय की एक छवि (प्रक्षेपण) किसी को उसके ज्यामितीय आकार या इस छवि को बनाने वाली सबसे सरल ज्यामितीय छवियों के आकार का न्याय करने की अनुमति नहीं देती है। इस प्रकार, कोई अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को उसके किसी प्रक्षेपण से नहीं आंक सकता; अंतरिक्ष में इसकी स्थिति दो प्रक्षेपणों द्वारा निर्धारित होती है।

एक डायहेड्रल कोण के स्थान में स्थित बिंदु A के प्रक्षेपण के निर्माण के एक उदाहरण पर विचार करें (चित्र 60)। आइए हम प्रक्षेपण तलों में से एक को क्षैतिज रूप से रखें, इसे क्षैतिज प्रक्षेपण तल कहें और इसे अक्षर P1 से निरूपित करें। तत्व प्रक्षेपण

इस पर रिक्त स्थान को सूचकांक 1: A1, a1, S1 ... से दर्शाया जाएगा और क्षैतिज प्रक्षेपण (बिंदु, रेखाएं, विमान) कहा जाएगा।

हम दूसरे तल को प्रेक्षक के सामने लंबवत रखते हैं, पहले तल के लंबवत, इसे प्रक्षेपण का ऊर्ध्वाधर तल कहते हैं और इसे P2 निरूपित करते हैं। इस पर अंतरिक्ष तत्वों के प्रक्षेपण को सूचकांक 2: A2 से दर्शाया जाएगा,
हम बिंदु A को दोनों प्रक्षेपण तलों पर लंबवत रूप से प्रक्षेपित करते हैं:

AA1_|_ P1;AA1 ^P1=A1;

AA2_|_ P2;AA2 ^P2=A2;

प्रक्षेपित किरणें AA1 और AA2 परस्पर लंबवत हैं और प्रक्षेपण के दोनों किनारों पर लंबवत, अंतरिक्ष में एक प्रक्षेपित विमान AA1AA2 बनाते हैं। यह तल प्रक्षेपण तलों को बिंदु A के प्रक्षेपणों से गुजरने वाली रेखाओं के अनुदिश काटता है।

एक सपाट चित्र प्राप्त करने के लिए, हम क्षैतिज प्रक्षेपण विमान P1 को P2 / P1 अक्ष के चारों ओर घुमाकर ललाट विमान P2 के साथ जोड़ते हैं (चित्र 61, ए)। तब बिंदु के दोनों प्रक्षेपण P2/P1 अक्ष के लंबवत एक ही रेखा पर होंगे। बिंदु के क्षैतिज A1 और ललाट A2 प्रक्षेपणों को जोड़ने वाली सीधी रेखा A1A2 को संचार की ऊर्ध्वाधर रेखा कहा जाता है।

परिणामी सपाट ड्राइंग को मल्टीड्राइंग कहा जाता है। यह कई संयुक्त तलों पर किसी वस्तु की छवि है। एक दूसरे से जुड़े दो ऑर्थोगोनल प्रक्षेपणों से युक्त एक जटिल रेखाचित्र को दो-प्रक्षेपण कहा जाता है। इस चित्र में, बिंदु के क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण हमेशा एक ही ऊर्ध्वाधर कनेक्शन रेखा पर स्थित होते हैं।

एक बिंदु के दो परस्पर जुड़े ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण विशिष्ट रूप से प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष इसकी स्थिति निर्धारित करते हैं। यदि हम इन विमानों के सापेक्ष बिंदु की स्थिति निर्धारित करते हैं (चित्र 61, बी) इसकी ऊंचाई एच (एए1 = एच) और गहराई एफ (एए2 = एफ), तो परिसर में ये मान ड्राइंग एक ऊर्ध्वाधर संचार लाइन के खंडों के रूप में मौजूद है। यह परिस्थिति ड्राइंग को फिर से बनाना आसान बनाती है, यानी ड्राइंग से प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष बिंदु की स्थिति निर्धारित करना। ऐसा करने के लिए, ड्राइंग के बिंदु A2 पर गहराई f के बराबर लंबाई के साथ ड्राइंग के तल (इसे ललाट मानते हुए) के लंबवत को पुनर्स्थापित करना पर्याप्त है। इस लंब का अंत आरेखण के तल के सापेक्ष बिंदु A की स्थिति निर्धारित करेगा।

2. ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण का सार

ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण विधि का सार यह है

एक वस्तु को किरणों द्वारा दो परस्पर लंबवत तलों पर प्रक्षेपित किया जाता है,

इन तलों के लिए ओर्थोगोनल (लंबवत)।

प्रक्षेपण विमानों में से एक एच को क्षैतिज रूप से रखा गया है, और दूसरा वी -

लंबवत. समतल H को प्रक्षेपणों का क्षैतिज तल कहा जाता है, V -

ललाट. समतल H और V अनंत और अपारदर्शी हैं। अन्तर्विभाजक रेखा

प्रक्षेपण तलों को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है और इसे OX से दर्शाया जाता है। विमान

प्रक्षेपण अंतरिक्ष को चार डायहेड्रल कोणों - क्वार्टरों में विभाजित करते हैं।

आयताकार (ऑर्थोगोनल) प्रक्षेपण समानांतर प्रक्षेपण का एक विशेष मामला है।

इस विधि से प्राप्त किसी वस्तु के प्रक्षेपण को ओर्थोगोनल कहा जाता है।

ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण में समानांतर और केंद्रीय प्रक्षेपण के सभी गुण होते हैं, और इसके अलावा, समकोण प्रक्षेपण प्रमेय सत्य है: यदि समकोण का कम से कम एक पक्ष प्रक्षेपण तल के समानांतर है, और दूसरा इसके लंबवत नहीं है, तो समकोण को इस तल पर समकोण में प्रक्षेपित किया जाता है।

3. बिंदु प्रक्षेपण. निजी बिंदु स्थिति

निर्देशांक वे संख्याएँ हैं जो किसी बिंदु के अनुरूप होती हैं

अंतरिक्ष में या किसी सतह पर इसकी स्थिति का निर्धारण करना।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक बिंदु की स्थिति का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है

आयताकार कार्टेशियन x, y और z का निर्देशांक करता है।

x-निर्देशांक को भुज, y-निर्देशांक और z-निर्देशांक कहा जाता है। सूच्याकार आकृति का भुज

X दिए गए बिंदु से समतल W, कोटि y - की दूरी को परिभाषित करता है

समतल V और समतल z - समतल H पर लागू करें। निर्देशांक के संदर्भ के लिए ले रहे हैं

चित्र में दिखाए गए बिंदु प्रणाली में, हम निर्देशांक के संकेतों की एक तालिका बनाएंगे

सभी आठ अष्टांश. स्थान A में कोई बिंदु, द्वारा दिया गया

निर्देशांक इस प्रकार दर्शाए जाएंगे: A (x, y, z)।

यदि x = 5, y = 4 और z = 6, तो रिकॉर्ड निम्नलिखित रूप A (5, 4, 6) लेगा। यह

बिंदु A, जिसके सभी निर्देशांक सकारात्मक हैं, पहले अष्टक में है

बिंदु A के निर्देशांक एक ही समय में इसके त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक हैं

उत्पत्ति के संबंध में OA. यदि i, j, k इकाई सदिश हैं,

निर्देशांक अक्षों x, y, z (आकृति) के अनुदिश क्रमशः निर्देशित

OA = OAxi + OAyj + OAzk, जहां OAX,

ОАУ, ОАg - वेक्टर ОА के निर्देशांक

बिंदु की छवि का निर्माण और स्थानिक पर उसका प्रक्षेपण

आयताकार समान्तर चतुर्भुज. सबसे पहले, बिंदु O से निर्देशांक अक्षों पर

क्रमशः 5, 4 और 6 इकाइयों की लंबाई के बराबर खंडों को अलग रखें। इन पर

खंड (ओक्स, ओए, ओएज़), किनारों पर, एक आयताकार निर्माण करते हैं

समानान्तर चतुर्भुज। इसका शीर्ष, मूल के विपरीत होगा

दिए गए बिंदु A को निर्धारित करें। यह देखना आसान है कि बिंदु A को निर्धारित करना आसान है

यह समांतर चतुर्भुज के केवल तीन किनारों को बनाने के लिए पर्याप्त है, उदाहरण के लिए Oax, axa1

और a1A या Oay , aya1 और a1A , आदि। ये किनारे एक समन्वय बनाते हैं

एक टूटी हुई रेखा, जिसके प्रत्येक लिंक की लंबाई संबंधित द्वारा निर्धारित की जाती है

बिंदु समन्वय.

4. सीधा प्रक्षेपण. प्रक्षेपण तलों के सापेक्ष रेखाओं की स्थिति

एक सीधी रेखा दो बिंदुओं से परिभाषित होती है। इसलिए, यदि एक रेखा पर स्थित दो बिंदुओं a और b का एक योजना और मुखौटा (संयुक्त) है, तो बिंदु a और b की योजनाओं को जोड़ने वाली रेखा a'b' रेखा ab और रेखा a' की योजना होगी। बी" बिंदु ए और बी के पहलुओं को जोड़ते हुए, रेखा एबी का अग्रभाग होगा। चित्र 4 में, रेखा एबी को इसकी योजना और अग्रभाग में दिखाया गया है।

5. सीधी रेखाओं की पारस्परिक स्थिति

एक रेखा किसी समतल में स्थित हो सकती है, उसके समानांतर हो सकती है, या किसी समतल को काट सकती है।

6. ड्राइंग में एक विमान को निर्दिष्ट करने के तरीके

अंतरिक्ष में विमान की स्थिति निम्न द्वारा निर्धारित की जाती है: तीन बिंदु जो एक रेखा (1) पर नहीं हैं, एक रेखा और रेखा (2) के बाहर लिया गया एक बिंदु, दो प्रतिच्छेदी रेखाएं (3), दो समानांतर रेखाएं (4) , एक ज्यामितीय आकृति (5), निशान समतल (6)।

7. प्रक्षेपण तलों के सापेक्ष तलों की स्थिति के विभिन्न मामले

प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष, सीधी रेखा एक अलग स्थिति ले सकती है। एक सीधी रेखा जो किसी भी मुख्य प्रक्षेपण तल के समानांतर नहीं है (चित्र 69 देखें) सामान्य स्थिति में सीधी रेखा कहलाती है। प्रक्षेपण तलों में से किसी एक के समानांतर या लंबवत एक सीधी रेखा को विशेष स्थिति की सीधी रेखा कहा जाता है।

प्रक्षेपण तलों में से किसी एक के समानांतर रेखाएँ स्तर रेखाएँ कहलाती हैं। उनका नाम इस बात पर निर्भर करता है कि वे किस तल के समानांतर हैं। प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल के समानांतर एक सीधी रेखा को क्षैतिज रेखा कहा जाता है और इसे चित्र h (चित्र 70) में दर्शाया गया है।

ललाट प्रक्षेपण तल के समानांतर एक सीधी रेखा को ललाट कहा जाता है और इसे f (चित्र 71) द्वारा दर्शाया जाता है।

प्रक्षेपणों के प्रोफ़ाइल तल के समानांतर एक सीधी रेखा को प्रोफ़ाइल तल कहा जाता है और इसे p (चित्र 72) द्वारा दर्शाया जाता है।

एक लेवल लाइन में एक प्रक्षेपण स्वयं रेखा के समानांतर होता है और इस रेखा के दो अन्य प्रक्षेपण विमानों के झुकाव के कोण को निर्धारित करता है।

प्रक्षेपण विमानों में से एक की समानता प्रत्यक्ष स्तर के अन्य दो प्रक्षेपणों का स्थान निर्धारित करती है:

h2 || पी2/पी1 ;

h3 _|_ P2/P3 ;

एफ2 || पी2/पी1;

f3 _|_ P2/P3 ;

p1 _|_ P2/P1 ;

पी2 _|_ पी2/पी1 ;

सीधी रेखाएँ h2 और f1 ऊर्ध्वाधर संचार रेखाओं के लंबवत हैं; पी1 और पी2 संचार की एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर स्थित हैं और, दो-प्रक्षेपण ड्राइंग में, सीधी रेखा पी के दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए।

प्रक्षेपण तलों में से किसी एक पर लंबवत सीधी रेखाओं को प्रक्षेपण कहा जाता है। ये रेखाएँ, एक प्रक्षेपण तल के लंबवत होने के कारण, दो अन्य प्रक्षेपण तलों के समानांतर हो जाती हैं। इसलिए, रेखाओं को प्रक्षेपित करने के लिए, एक प्रक्षेपण एक बिंदु में बदल जाता है, और अन्य दो प्रक्षेपण स्वयं के समानांतर होते हैं।

ड्राइंग में संचार लाइन की दिशा के साथ सीधी और मेल खाती है (चित्र 73)। क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित करने वाली रेखाएँ (AB), अग्रतः प्रक्षेपित करने वाली रेखाएँ (CD) और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपित करने वाली रेखाएँ (EF) होती हैं।

8. एक सीधी रेखा, एक बिंदु और एक तल की पारस्परिक व्यवस्था। विमान की मुख्य लाइनें

समतल से संबंधित सीधी रेखाओं में, अंतरिक्ष में एक विशेष स्थान रखने वाली सीधी रेखाओं का विशेष महत्व है:

1. क्षैतिज एच - किसी दिए गए तल में पड़ी सीधी रेखाएं और प्रक्षेपण के क्षैतिज तल के समानांतर

2. ललाट f - समतल में स्थित सीधी रेखाएँ और प्रक्षेपणों के ललाट तल के समानांतर

प्रोफ़ाइल रेखाएँ p - सीधी रेखाएँ जो किसी दिए गए तल में होती हैं और प्रक्षेपण के प्रोफ़ाइल तल के समानांतर होती हैं

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विमान के निशानों को मुख्य लाइनों के लिए भी जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। क्षैतिज निशान विमान का क्षैतिज है, ललाट सामने है और प्रोफ़ाइल विमान की प्रोफ़ाइल रेखा है।

एक बिंदु और एक तल की पारस्परिक स्थिति

एक बिंदु और एक तल की पारस्परिक व्यवस्था के लिए दो विकल्प हैं: या तो बिंदु समतल का है, या नहीं।

यदि बिंदु समतल से संबंधित है, तो अंतरिक्ष में बिंदु की स्थिति निर्धारित करने वाले तीन प्रक्षेपणों में से केवल एक को मनमाने ढंग से सेट किया जा सकता है।

9. समानान्तर रेखा और समतल

एक रेखा और एक तल को समानांतर कहा जाता है यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

प्रमेय 1. यदि कोई रेखा जो किसी समतल से संबंधित नहीं है, इस समतल में किसी रेखा के समानांतर है, तो वह स्वयं समतल के भी समानांतर है।

सबूत। मान लीजिए कि a एक समतल है, a एक रेखा है जो उसमें नहीं पड़ी है, और b एक समतल में a के समानांतर एक रेखा है। रेखाओं a और b से होकर समतल b खींचिए। समतल a और b रेखा b के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं। यदि रेखा a समतल a को प्रतिच्छेद करती है, तो प्रतिच्छेदन बिंदु रेखा b से संबंधित होगा। लेकिन यह असंभव है, क्योंकि रेखाएँ a और b समानांतर हैं। अतः, रेखा a, समतल a को प्रतिच्छेद नहीं करती है, और इसलिए इसके समानांतर है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

10. दो तलों का प्रतिच्छेदन

दो तल एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं। उनके प्रतिच्छेदन की एक रेखा बनाने के लिए, आपको इस रेखा से संबंधित दो बिंदु खोजने होंगे। यदि प्रतिच्छेदी तलों में से कोई एक विशेष स्थान ले लेता है तो कार्य सरल हो जाता है। इस मामले में, इसके विकृत प्रक्षेपण में विमानों के चौराहे की रेखा का प्रक्षेपण शामिल है।

अंजीर पर. 122 दो प्रतिच्छेदी तलों £ और 0 का एक जटिल चित्र दिखाता है, और एक विशेष स्थिति का समतल योग सामने की ओर प्रक्षेपित है। यह त्रिभुज ABC - सामान्य स्थिति में समतल - द्वारा दिए गए समतल 0 की रेखाओं AB और AC को प्रतिच्छेद करता है। प्रतिच्छेदन बिंदु 1 और 2 और समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा को परिभाषित करें। उन्हें जोड़ने पर, हमें आवश्यक रेखा मिलती है: a(1, 2) = Sum^Q।

एक सामान्य स्थिति में रहने वाले दो विमानों की प्रतिच्छेदन रेखा का निर्माण प्रक्षेपण विमानों की मूल प्रणाली में किया जा सकता है। इसके लिए एक तल को दूसरे तल से सीधी रेखा बनाने की समस्या को दो बार हल किया जाता है। में समस्या का समाधान किया जा सकता है नई प्रणालीप्रक्षेपण तल के रूप में प्रतिच्छेदी तलों में से एक की छवि बनाकर प्रक्षेपण तल।

अंजीर पर. 123, और दो त्रिभुजों ABC और DEF के प्रतिच्छेदन की रेखा का निर्माण समतल DEF के साथ रेखा AB के प्रतिच्छेदन के बिंदु M और समतल ABC के साथ रेखा EF के प्रतिच्छेदन के बिंदु N का निर्माण करके किया जाता है:

1) एबी ~ Sum1(Sum1_|_P2), Sum1 ^DEF=l -2(12-22; 11-21), 11-21 ^ A1B1 = M1, M1,M2 || A1A2,M1M2 ^ A2B2 = M2,M(M,M2);

2) EF ~ Sum2(Sum2_|_P2), Sum2 ^ ABC = 3-4(32-42; 31-41),31-41 ^ E1F1= = N1, N1N2 || ए1,ए2; N1N2^ E2F2 = N2; एन(एन1,एन2);

3) एम1 यू एन1, = एम1एन1, एम2 यू एन2 = एम2एन2;

4) एबीसी^डीईएफ = एमएन।

निर्माण के बाद, प्रतिच्छेदी विमानों की दृश्यता निर्धारित की जाती है। ललाट तल पर, इसे अग्रतः प्रतिस्पर्धी बिंदु 1 और 5 का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। क्षैतिज प्रक्षेपण विमान पर दृश्यता निर्धारित करने के लिए, क्षैतिज रूप से प्रतिस्पर्धी बिंदु 6 और 7 का उपयोग किया जाता है।

अंजीर पर. 123बी, पी4 विमान पर इन विमानों के अतिरिक्त प्रक्षेपणों का उपयोग करके चौराहे की एक ही रेखा का निर्माण किया जाता है, जिसके सापेक्ष डीईएफ विमान एक प्रक्षेपण स्थिति पर कब्जा कर लेता है। अतिरिक्त प्रक्षेपण इस शर्त से निर्मित होते हैं कि क्षैतिज h ? DEF को समतल P4 _|_ h पर एक बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है। नई संचार लाइनें बिंदु A के अपूरणीय क्षैतिज प्रक्षेपणों के माध्यम से खींची जाती हैं,

B, C, D, E, F h1 के समानांतर हैं, और नया प्रक्षेपण अक्ष П1/P4 _|_ h1 है। पी2 तल पर मापे गए बिंदुओं की ऊंचाई ने पी4 तल पर उनके प्रक्षेपणों को निर्धारित किया।

A4B4C4 ^ D4E4F4 = M4K4, चूँकि A4B4 ^ D4E4F4 = M4 और B4C4 ^ D4E4F4 = K4. नई संचार लाइनों की दिशा में, हम एमके लाइन (एम1के1) का क्षैतिज प्रक्षेपण निर्धारित करते हैं। हम भुजा EF के प्रतिच्छेदन बिंदु को रेखा MK: E1F1 ^ M1K1 = N1 से चिह्नित करते हैं। खंड NK के बिंदुओं का समतल DEF के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

किसी विशेष स्थिति में प्रतिच्छेदी तल लंबवत हो सकते हैं। लंबवतता के मामलों की पहचान करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि यदि दो विमान परस्पर लंबवत हैं, तो उनमें से एक दूसरे विमान के लंबवत से होकर गुजरता है। अंजीर पर. 122 परस्पर लंबवत प्रतिच्छेदी विमानों का एक जटिल चित्रण है: एक सामने से सम (Sum2) प्रक्षेपित करता है, और दूसरा - सामान्य स्थिति (ABC) में - समतल AB (AB||P2; A2B2Sum2) पर लंबवत AB समाहित करता है।

दो तल आम तौर पर अनंत पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं। तब इन तलों की समानता होती है। इस मामले की पहचान करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि समानांतर विमानों के लिए, एक विमान की दो प्रतिच्छेदी रेखाएं दूसरे विमान की दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर होती हैं। अंजीर पर. 91 समतल S, समतल Sum2 के समानांतर है, क्योंकि a || सी, बी || डी।

11. दो तलों की समांतरता

दो तल समानांतर कहलाते हैं यदि उनमें कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हो।

प्रमेय 2.6. समांतर तलों का चिन्ह.

यदि समतल α दूसरे समतल β में स्थित दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में से प्रत्येक के समानांतर है, तो ये समतल समानांतर हैं।

सबूत

ड्राइंग 2.3.1.

हम विरोधाभास से साबित करेंगे. मान लीजिए कि रेखाएँ a और b समतल β में स्थित हैं, और मान लीजिए a || α और बी || α (चित्र 2.3.1)। यदि समतल α और β समानांतर नहीं हैं, तो वे किसी रेखा c के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं। क्योंकि एक || α, फिर ट्रेस प्रमेय c || द्वारा एक। इसी प्रकार, हमें वह c || प्राप्त होता है बी , फिर ए || बी। हम एक विरोधाभास पर पहुंच गए हैं, क्योंकि ए और बी धारणा के आधार पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमेय 2.7.

यदि दो समानांतर तलों को एक तिहाई से पार किया जाता है, तो यह इन तलों पर समानांतर निशान छोड़ देता है।

ड्राइंग 2.3.2.

सबूत

मान लीजिए α और β समानांतर हैं, γ तीसरा तल है जो उन्हें काटता है, और α γ = a , β γ = b । इस प्रकार, a और b समतल α और β पर समतल γ के निशान हैं। रेखाएँ a और b एक ही समतल γ में स्थित हैं और इनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, क्योंकि समतल α और β का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। इसलिए, ए || बी।

प्रमेय 2.8.

किसी दिए गए विमान के बाहर एक बिंदु के माध्यम से, कोई दिए गए विमान के समानांतर एक विमान खींच सकता है, और इसके अलावा, केवल एक।

प्रमेय 2.9.

दो समान्तर तलों से घिरी समांतर रेखाओं के खंड बराबर होते हैं।

ड्राइंग 2.3.3.

प्रमेय 2.10.

क्रमशः समानांतर और समान रूप से निर्देशित भुजाओं वाले दो कोण बराबर होते हैं और समानांतर विमानों में स्थित होते हैं।

सबूत

ड्राइंग 2.3.4.

चित्र 2.3.4 एबी || के साथ कोण बीएसी और बी 1 ए 1 सी 1 दिखाता है। ए 1 बी 1 और एसी || ए 1 सी 1. विमानों की समानता के आधार पर, बीएसी विमान विमान बी 1 ए 1 सी 1 के समानांतर है।

मान लीजिए कि कोण की भुजाओं पर संगत खंड बराबर हैं: AB = A 1 B 1 और AC = A 1 C 1. रेखाएँ AA 1, BB 1, CC 1 खींचिए। चतुर्भुज ABB 1 A 1 एक समांतर चतुर्भुज है, क्योंकि AB = ए 1 बी 1 और एबी || ए 1 बी 1, इसलिए, एए 1 = बीबी 1 और एए 1 || बीबी 1. हम इसी तरह साबित करते हैं कि एए 1 = सीसी 1. इसका मतलब है कि बीबी 1 = सीसी 1 और बीबी 1 || सीसी 1, इसलिए, सीबीबी 1 सी 1 एक समांतर चतुर्भुज है और सीबी = सी 1 बी 1. अब हम दावा करते हैं कि Δ एबीसी = Δ ए 1 बी 1 सी 1, जहां से बीएसी = बी 1 ए 1 सी 1।

12. किसी चित्र को परिवर्तित करने के तरीके

ड्राइंग का परिवर्तन रोटेशन की विधि, एक अतिरिक्त विमान पर प्रक्षेपण की विधि, विमान-समानांतर स्थानांतरण की विधि और अन्य द्वारा किया जा सकता है। सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली रोटेशन की विधि और एक अतिरिक्त विमान पर प्रक्षेपण की विधि।

13. पॉलीहेड्रा. पॉलीहेड्रा की सतह पर बिंदु

तीन परिभाषाएँ

एक बहुफलक, अधिक सटीक रूप से एक त्रि-आयामी बहुफलक, त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सीमित संख्या में समतल बहुभुजों का एक संग्रह है जैसे:

किसी भी बहुभुज का प्रत्येक पक्ष एक ही समय में दूसरे (लेकिन केवल एक) का पक्ष होता है, जिसे पहले (इस पक्ष के साथ) का आसन्न कहा जाता है;

(कनेक्टिविटी) पॉलीहेड्रॉन बनाने वाले किसी भी बहुभुज से, कोई भी उसके निकट वाले से गुजरकर उनमें से किसी तक पहुंच सकता है, और इससे, बदले में, उसके निकट वाले तक पहुंच सकता है, आदि।

इन बहुभुजों को फलक कहा जाता है, उनकी भुजाओं को किनारा कहा जाता है, और उनके शीर्ष बहुफलक के शीर्ष होते हैं। पॉलीहेड्रा का सबसे सरल उदाहरण उत्तल पॉलीहेड्रा है, अर्थात। यूक्लिडियन स्पेस के एक बंधे हुए उपसमुच्चय की सीमा, जो अर्ध-रिक्त स्थानों की एक सीमित संख्या का प्रतिच्छेदन है।

बहुफलक की दी गई परिभाषा बहुभुज को परिभाषित करने के तरीके के आधार पर एक अलग अर्थ लेती है, निम्नलिखित दो विकल्प संभव हैं:

सपाट बंद टूटी हुई रेखाएं (भले ही वे स्वयं-प्रतिच्छेदी हों);

विमान के हिस्से टूटी रेखाओं से बंधे हुए हैं।

बाद वाले मामले में, एक बहुफलक बहुभुज टुकड़ों से बनी एक सतह है।

यदि यह सतह स्वयं को नहीं काटती है, तो यह किसी ज्यामितीय पिंड की पूरी सतह है, जिसे बहुफलक भी कहा जाता है; इसलिए तीसरी परिभाषा उत्पन्न होती है।

[संपादन करना]

विविधताएँ और सामान्यीकरण

पॉलीटोप की अवधारणा को आयाम में आगमनात्मक रूप से सामान्यीकृत किया जाता है, और इसे आमतौर पर एन-आयामी पॉलीटोप कहा जाता है।

एक अनंत बहुफलक अपनी परिभाषा में असीमित फलकों और किनारों की एक सीमित संख्या को स्वीकार करता है

वक्ररेखीय पॉलीहेड्रा वक्ररेखीय किनारों और चेहरों की अनुमति देता है।

गोलाकार बहुफलक.

14. एक्सोनोमेट्रिक अनुमान

एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण (ग्रीक άχοπ - "अक्ष" और "मेट्री") समानांतर अनुमानों का उपयोग करके एक ड्राइंग में ज्यामितीय वस्तुओं को चित्रित करने का एक तरीका है।

समन्वय प्रणाली के साथ एक वस्तु जिसे इसे सौंपा गया है, को एक मनमाना विमान (एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण का चित्र विमान) पर इस तरह से प्रक्षेपित किया जाता है कि यह विमान अपने समन्वय विमान के साथ मेल नहीं खाता है। इस मामले में, एक विमान पर एक आकृति के दो परस्पर जुड़े प्रक्षेपण प्राप्त होते हैं, जो वस्तु की एक दृश्य छवि प्राप्त करके अंतरिक्ष में स्थिति को बहाल करना संभव बनाता है। चूँकि चित्र तल किसी भी निर्देशांक अक्ष के समानांतर नहीं है, इसलिए निर्देशांक अक्ष के समानांतर लंबाई के साथ खंडों की विकृतियाँ होती हैं। यह विकृति तीनों अक्षों के साथ समान हो सकती है - एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण, दो अक्षों के साथ समान - एक डिमेट्रिक प्रक्षेपण, और तीनों अक्षों के साथ अलग-अलग विकृतियों के साथ - एक त्रिमितीय प्रक्षेपण।

15. प्रारूप. पैमाना। पंक्ति उदाहरण

स्केल (जर्मन मास्टैब, शाब्दिक अर्थ "मापने वाली छड़ी": माß "माप", छुरा "छड़ी") - सामान्य स्थिति में, दो रैखिक आयामों का अनुपात। कई क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोगस्केल किसी छवि के आकार और चित्रित की जा रही वस्तु के आकार का अनुपात है।

जियोडेसी, कार्टोग्राफी और डिज़ाइन में यह अवधारणा सबसे आम है - किसी वस्तु के प्राकृतिक आकार का उसकी छवि के आकार से अनुपात। एक व्यक्ति बड़ी वस्तुओं, जैसे घर, को पूर्ण आकार में चित्रित करने में सक्षम नहीं है, इसलिए, किसी बड़ी वस्तु को ड्राइंग, ड्राइंग, लेआउट आदि में चित्रित करते समय, एक व्यक्ति वस्तु का आकार कई बार कम कर देता है: दो , पाँच, दस, एक सौ, एक हज़ार, इत्यादि। आगे भी। वह संख्या जो दर्शाती है कि चित्रित वस्तु को कितनी बार घटाया गया है, वह पैमाना है। पैमाने का उपयोग सूक्ष्म जगत का चित्रण करते समय भी किया जाता है। मनुष्य चित्र नहीं बना सकता लिविंग सेल, जिसे माइक्रोस्कोप में पूर्ण आकार में जांचा जाता है और इसलिए इसकी छवि का आकार कई गुना बढ़ जाता है। किसी वास्तविक घटना की छवि बनाते समय उसमें कितनी बार वृद्धि या कमी हुई, यह दर्शाने वाली संख्या को एक पैमाने के रूप में परिभाषित किया गया है।

कागज़ का आकार - कागज़ की शीट का एक मानकीकृत आकार। अलग-अलग देशों ने अलग-अलग समय पर अलग-अलग प्रारूपों को मानक के रूप में अपनाया। वर्तमान में, दो प्रणालियाँ हावी हैं: अंतर्राष्ट्रीय मानक (A4 और संबंधित) और उत्तरी अमेरिकी।

1. ठोस मोटी मुख्य - दृश्य समोच्च की रेखाएँ, अनुभागों की समोच्च रेखाएँ खींचने के लिए उपयोग किया जाता है। इस पंक्ति से आप ड्राइंग के आंतरिक फ्रेम, शीर्षक ब्लॉक के कॉलम की रूपरेखा तैयार करेंगे। ठोस मुख्य लाइन (एस) की मोटाई 0.5 से 1.4 मिमी की सीमा में चुनी जाती है।

2. एक ठोस पतली रेखा का उद्देश्य आयाम और विस्तार रेखाएं खींचने, हैचिंग करने, लीडर लाइनों की अलमारियों को खींचने, एक सतह से दूसरी सतह तक काल्पनिक संक्रमण रेखाओं को चित्रित करने के लिए किया जाता है। लाइन की मोटाई S/3 से S/2 तक चुनी जाती है।

3. एक ठोस लहरदार रेखा का उपयोग एक ब्रेक लाइन को चित्रित करने, एक दृश्य और एक अनुभाग के बीच अंतर करने के लिए किया जाता है। लाइन की मोटाई S/3 से S/2 तक। इस प्रकार की रेखा हाथ से बनाई जाती है।

4. टूट-फूट के साथ ठोस पतला। यह रेखा चट्टान की लंबी रेखाओं का प्रतिनिधित्व करती है। लाइन की मोटाई S/3 से S/2 तक।

5. धराशायी रेखा का उपयोग अदृश्य समोच्च, अदृश्य संक्रमण रेखाओं की रेखाओं को चित्रित करने के लिए किया जाता है। स्ट्रोक की लंबाई 2 से 8 मिमी तक चुनी जाती है, स्ट्रोक के बीच की दूरी 1 से 2 मिमी तक होती है। लाइन की मोटाई S/3 से S/2 तक।

6. एक खुली रेखा का उद्देश्य अनुभागों और कटों का निर्माण करते समय काटने वाले विमान के स्थान को चित्रित करना है। लाइन की मोटाई S से 1.5 S तक.

7. केंद्र और केंद्र रेखाओं को प्रदर्शित करने के लिए डैश-डॉटेड पतली रेखा का उपयोग किया जाता है। स्ट्रोक की लंबाई 5 से 30 मिमी तक चुनी जाती है, स्ट्रोक के बीच की दूरी 3 से 5 मिमी तक होती है। स्ट्रोक बिंदुओं के साथ वैकल्पिक होते हैं। लाइन की मोटाई S/3 से S/2 तक।

किसी वृत्त का चित्रण करते समय, डैश-बिंदुदार रेखा के स्ट्रोक वृत्त के केंद्र में प्रतिच्छेद करने चाहिए, और इसलिए रेखा को डैश-बिंदुदार केंद्र रेखा कहा जाता है, जिससे इसके उद्देश्य पर जोर दिया जाता है (चित्र 31)।

डैश-बिंदुदार (अक्षीय और केंद्र) रेखा को वस्तुओं की छवि की आकृति से 3-5 मिमी (चित्र 31, ए) तक फैलाना चाहिए। यदि 12 मिमी से कम व्यास वाले छेद के लिए सर्कल का केंद्र निर्धारित करना आवश्यक है, तो केंद्र रेखाएं एक स्ट्रोक (चित्र 31, बी) के साथ की जाती हैं। चित्र 31 केंद्र और केंद्र रेखाओं का चित्रण दिखाता है।

8. एक धराशायी-बिंदु वाली मोटी रेखा का उपयोग किसी सतह को गर्मी से उपचारित या लेपित करने के लिए चित्रित करने के लिए किया जाता है (स्कूल पाठ्यक्रम में उपयोग नहीं किया जाता है)।

9. दो बिंदुओं वाली एक डैश-बिंदीदार पतली रेखा का उपयोग उत्पादों के हिस्सों को चरम या मध्यवर्ती स्थिति में चित्रित करने के लिए, रीमर पर गुना रेखाओं को चित्रित करने के लिए किया जाता है। स्ट्रोक की लंबाई 5 से 30 मिमी, स्ट्रोक के बीच की दूरी 4 से 6 मिमी तक। लाइन की मोटाई S/3 से S/2 तक।

16. विचार. परिभाषा। वर्गीकरण

दृश्य पर्यवेक्षक के सामने किसी वस्तु की सतह के दृश्य भाग की एक छवि है।

चित्र में प्रारंभिक दृश्य सामने का दृश्य है, जिसे मुख्य दृश्य भी कहा जाता है। यदि आप वस्तु को बाईं ओर से, प्रक्षेपण के प्रोफ़ाइल तल के समकोण पर देखते हैं, तो आपको बाईं ओर से एक दृश्य मिलता है। क्षैतिज प्रक्षेपण तल के लंबवत ऊपर से किसी वस्तु को देखने पर, एक शीर्ष दृश्य प्राप्त होता है।

वे दिशाएँ जिनमें वे भाग को देखते हैं, एक या दूसरा दृश्य प्राप्त करते हैं। प्रत्येक दृश्य मुख्य दृश्य के संबंध में ड्राइंग में एक कड़ाई से परिभाषित स्थान रखता है। बायां दृश्य मुख्य दृश्य के दाईं ओर रखा गया है और इसके समान स्तर पर, शीर्ष दृश्य मुख्य दृश्य के नीचे रखा गया है। आप विशेष पदनाम के बिना मनमाने स्थानों पर विचार रखकर इस नियम का उल्लंघन नहीं कर सकते।

दृश्यों की व्यवस्था के नियम को जानने के बाद, किसी वस्तु के आकार को उसकी सपाट छवियों से दर्शाना संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको ड्राइंग में दिए गए सभी दृश्यों की तुलना करने और कल्पना में वस्तु के त्रि-आयामी आकार को फिर से बनाने की आवश्यकता है। सामने, ऊपर और बाएँ दृश्यों के साथ-साथ दाएँ, नीचे, पीछे के दृश्यों का उपयोग किसी वस्तु को चित्रित करने के लिए किया जा सकता है - इन सभी को मूल कहा जाता है। हालाँकि, ड्राइंग में दृश्यों की संख्या सबसे छोटी होनी चाहिए, लेकिन वस्तु के आकार और आकार को पूरी तरह से प्रकट करने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए।

17. मुख्य एवं स्थानीय दृश्य

कुछ मामलों में, ड्राइंग में, पूर्ण दृश्य के बजाय, आप उसका एक भाग लगा सकते हैं। इससे विषय की छवि का निर्माण सरल हो जाता है।

किसी वस्तु की सतह पर एक अलग, सीमित स्थान की छवि को स्थानीय दृश्य कहा जाता है।

इसका उपयोग तब किया जाता है जब भाग के अलग-अलग तत्वों (निकला हुआ किनारा, कीवे, आदि) के आकार और आयाम को दिखाने की आवश्यकता होती है।

स्थानीय दृश्य को चट्टान रेखा, समरूपता की धुरी इत्यादि द्वारा सीमित किया जा सकता है। एक स्थानीय दृश्य को ड्राइंग के मुक्त क्षेत्र पर या अन्य छवियों के साथ प्रक्षेपण कनेक्शन में रखा जाता है। स्थानीय दृश्य का उपयोग आपको ग्राफिक कार्य की मात्रा को कम करने, ड्राइंग क्षेत्र पर जगह बचाने की अनुमति देता है।

मुख्य प्रकारों के निम्नलिखित नाम स्थापित हैं:

सामने का दृश्य (मुख्य दृश्य) - ललाट तल पर छवि

शीर्ष दृश्य - क्षैतिज तल पर छवि

बायां दृश्य - प्रोफ़ाइल तल पर छवि

दायाँ दृश्य - प्रोफ़ाइल तल पर छवि

नीचे का दृश्य - क्षैतिज तल पर छवि

पीछे का दृश्य - सामने वाले तल पर छवि

18. अतिरिक्त दृश्य

सहायक दृश्य मुख्य दृश्य के किनारे या रेखा के साथ मॉडल का एक प्रक्षेपण है। ड्रॉइंग व्यू टूलबार पर अतिरिक्त दृश्य बटन पर क्लिक करके एक अतिरिक्त दृश्य बनाया जाता है और इसे आधार दृश्य के साथ संरेखित किया जाना चाहिए। अतिरिक्त दृश्य बनाने के विकल्प अतिरिक्त दृश्य संवाद बॉक्स में सेट किए गए हैं:

नाम वह क्षेत्र है जिसमें

पकड़े रहना:

नाम - लागू डिज़ाइन मानक के अनुसार अतिरिक्त दृश्य के पदनाम को निर्दिष्ट करने के लिए एक टेक्स्ट बॉक्स। उपयोगकर्ता अतिरिक्त दृश्य के लिए एक नया पदनाम परिभाषित कर सकता है;

दृश्यता - एक चेकबॉक्स, जिसकी सेटिंग यह सुनिश्चित करती है कि ड्राइंग पर एक अतिरिक्त दृश्य का पदनाम प्रदर्शित हो।

19. काटना

कट एक या अधिक तलों द्वारा किसी वस्तु का मानसिक खंड है। अनुभाग उन हिस्सों और उनके हिस्सों को दिखाता है जो काटने वाले विमान के पीछे स्थित हैं।

एक खंड (किसी इमारत का वास्तुशिल्प, ललाट प्रक्षेपण या विमान या विमानों की एक प्रणाली द्वारा सशर्त रूप से विच्छेदित वास्तुशिल्प विवरण) ड्राइंग में वास्तुशिल्प विवरण, वॉल्यूम या आंतरिक स्थानों की कॉन्फ़िगरेशन को सशर्त रूप से चित्रित करने का कार्य करता है और संरचना के आकार और विन्यास को चित्रित करता है। .

चीरे के प्रकार

साधारण कट

ड्राइंग में एक अनुभाग सरल है

1. काटने वाले विमानों की संख्या के आधार पर, कटौती को इसमें विभाजित किया गया है:

सरल कट - आकार देने के लिए एक तल का उपयोग किया जाता है।

जटिल कट - बनाने के लिए दो या दो से अधिक कटिंग विमानों का उपयोग किया जाता है।

टूटा हुआ कट - बनाने के लिए दो (अधिक दुर्लभ रूप से उपयोग किए जाने वाले) प्रतिच्छेदी विमानों का उपयोग किया जाता है।

स्टेप्ड कट - गठन के लिए दो या दो से अधिक समानांतर विमानों का उपयोग किया जाता है।

2. क्षैतिज प्रक्षेपण तल के सापेक्ष तल की स्थिति के आधार पर, अनुभागों को इसमें विभाजित किया गया है:

क्षैतिज - काटने वाला तल क्षैतिज प्रक्षेपण तल के समानांतर होता है।

लंबवत - काटने वाला तल क्षैतिज प्रक्षेपण तल के लंबवत होता है।

झुका हुआ - काटने वाला तल क्षैतिज तल के साथ एक कोण बनाता है जो दाहिनी ओर से भिन्न होता है।

3. वस्तु के मुख्य आयामों के सापेक्ष काटने वाले विमान की स्थिति के आधार पर, अनुभागों को प्रतिष्ठित किया जाता है:

अनुदैर्ध्य - काटने वाला तल वस्तु की लंबाई या ऊंचाई के अनुदिश निर्देशित होता है।

अनुप्रस्थ - काटने वाला तल वस्तु की लंबाई या ऊंचाई के लंबवत होता है।

4. छवि की पूर्णता के आधार पर, कट इस प्रकार हैं:

पूर्ण - काटने वाला तल संपूर्ण वस्तु को काटता है और इसकी आंतरिक संरचना की छवि पूरे अनुभाग में दिखाई जाती है।

स्थानीय - काटने वाला तल वस्तु के केवल उस हिस्से को काटता है जिसमें उसे अपना आंतरिक आकार दिखाना आवश्यक होता है। स्थानीय खंड की सीमाओं को एक पतली ठोस लहरदार रेखा के रूप में दिखाया गया है।

20. सिंपल कट (देखें 19.)

21. जटिल कट (देखें 20)

22. दूरस्थ तत्व, पदनाम

एक दूरस्थ तत्व किसी वस्तु के किसी भी हिस्से की एक अतिरिक्त अलग छवि है जिसके आकार, आकार और अन्य डेटा के संबंध में स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है।

विस्तृत दृश्य सभी आवश्यक आयामों और विवरणों के साथ बड़े पैमाने पर तैयार किया गया है जिन्हें मुख्य छवि पर नहीं दिखाया जा सकता है।

विवरण तत्व सामग्री के संदर्भ में संबंधित छवि से भिन्न हो सकता है, अर्थात। मूल छवि एक दृश्य हो सकती है, और विवरण तत्व एक अनुभाग आदि हो सकता है।

23. खण्ड

अनुभाग - किसी वस्तु को काटने वाले तल से मानसिक रूप से विच्छेदित करके प्राप्त की गई आकृति की एक छवि। अनुभाग केवल वही दिखाता है जो काटने वाले तल में है।

भाग को प्रक्षेपण विमान वी पर प्रक्षेपित किया जाता है। फिर इसे मानसिक रूप से एक छेदक विमान द्वारा उस स्थान पर काटा जाता है जहां उत्पाद के आकार को स्पष्ट करना आवश्यक होता है। काटने वाले तल में एक अनुभाग आकृति प्राप्त होती है। उसके बाद, काटने वाले विमान (अनुभाग के चित्र के साथ) को मानसिक रूप से बाहर निकाला जाता है, चारों ओर घुमाया जाता है ऊर्ध्वाधर अक्ष, प्रक्षेपण तल के समानांतर चलें और V तल के साथ संरेखित करें ताकि सामने के दृश्य और अनुभाग आकृति की छवियां एक दूसरे को अस्पष्ट न करें ()। ध्यान दें कि काटने वाले विमान के इस आंदोलन के साथ, सामने का दृश्य अनुभाग के साथ प्रक्षेपण संबंध में है। अनुभाग आकृति की परिणामी छवि को प्रक्षेपण कनेक्शन में बनाया गया अनुभाग कहा जाता है।

प्रक्षेपण कनेक्शन को ध्यान में रखे बिना, इसे प्रक्षेपण विमान के साथ संरेखित करते हुए, किसी भी दिशा में अनुभाग आकृति के साथ काटने वाले विमान को स्थानांतरित करने की अनुमति है। ऐसे अनुभाग को चित्र के खाली स्थान में बनाया गया अनुभाग कहा जाता है (चित्र 148, सी)। सेक्शन को कटिंग प्लेन के ट्रेस की निरंतरता पर भी रखा जा सकता है (इसे कटिंग प्लेन के ट्रेस की निरंतरता पर बना सेक्शन कहा जाता है।

यदि अनुभाग काटने वाले विमान के निशान की निरंतरता पर स्थित है, तो अनुभाग को चिह्नित नहीं किया गया है ()। यदि अनुभाग ड्राइंग में एक खाली जगह पर स्थित है, तो इसे "ए - ए" प्रकार के शिलालेख के साथ नामित किया गया है (

यदि काटने वाला विमान एक बेलनाकार या ध्वन्यात्मक सतह की धुरी के साथ गुजरता है जो एक छेद या अवकाश को बांधता है, तो अनुभाग पर उनका समोच्च पूर्ण रूप से दिखाया जाता है, उदाहरण के लिए, एक शंक्वाकार अवकाश की छवि।

किसी वस्तु की विभिन्न छवियों का प्रदर्शन करते समय, GOST 2.305-68 कुछ परंपराओं और सरलीकरणों का उपयोग करने की सिफारिश करता है, जो छवि की स्पष्टता और स्पष्टता को बनाए रखते हुए ग्राफिक कार्य की मात्रा को कम करते हैं।

यदि दृश्य, अनुभाग या खंड सममित आकृतियाँ हैं, तो छवि का केवल आधा भाग या छवि का आधे से थोड़ा अधिक भाग खींचा जा सकता है, इसे एक लहरदार रेखा से सीमित किया जा सकता है

कटी हुई रेखाओं और संक्रमण रेखाओं को चित्रित करने के लिए सरलीकरण की अनुमति है; घुमावदार वक्रों के बजाय, एक वृत्त के चाप और सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं, और एक सतह से दूसरी सतह तक एक सहज संक्रमण सशर्त रूप से दिखाया जाता है (या बिल्कुल नहीं दिखाया जाता है)

इसे थोड़ा सा टेपर या ढलान को बड़ा करके चित्रित करने की अनुमति है। उन छवियों पर जहां ढलान या टेपर का स्पष्ट रूप से पता नहीं लगाया जाता है, केवल एक रेखा खींची जाती है, जो ढलान (ए) या शंकु के छोटे आधार वाले तत्व के छोटे आकार के अनुरूप होती है।

कट बनाते समय, गैर-खोखले शाफ्ट, हैंडल, स्क्रू, डॉवेल और रिवेट्स को बिना विच्छेदित दिखाया जाता है। गेंदों को हमेशा बिना काटे चित्रित किया जाता है।

बुनाई की सुई, पतली दीवारें, स्टिफ़नर जैसे तत्वों को अनुभाग में बिना छायांकित दिखाया गया है यदि काटने वाले विमान को ऐसे तत्व की धुरी या लंबे पक्ष के साथ निर्देशित किया जाता है (यदि ऐसे तत्वों में कोई छेद या अवकाश है, तो एक स्थानीय कट है) बनाया (

गोलाकार फ़्लैंज पर स्थित और काटने वाले तल में न गिरने वाले छेदों को अनुभाग में ऐसे दिखाया गया है मानो वे काटने वाले तल में हों

छवियों की संख्या को कम करने के लिए, पर्यवेक्षक और काटने वाले विमान के बीच स्थित वस्तु के हिस्से को डैश-डॉट मोटी रेखा () के रूप में चित्रित करने की अनुमति है। अधिक विस्तार से, वस्तुओं की छवि के नियम GOST 2.305-68 में निर्धारित किए गए हैं।

25. रेखाचित्र

स्केच (फादर एस्क्विसे) - एक प्रारंभिक स्केच जो कला, संरचना, तंत्र या उसके एक अलग हिस्से के काम के विचार को ठीक करता है। एक स्केच जल्दी से बनाई गई मुक्तहस्त ड्राइंग है, जिसका मतलब पूरा काम नहीं है, इसमें अक्सर कई ओवरलैपिंग लाइनें शामिल होती हैं।

रेखाचित्र सस्ते होते हैं और कलाकार को अन्य विचारों को पेंटिंग में बदलने से पहले रेखाचित्र बनाने और उन्हें आज़माने की अनुमति देते हैं। समय की कमी के कारण स्केचिंग के लिए पेंसिल या पेस्टल को प्राथमिकता दी जाती है, लेकिन एक त्वरित जल रंग स्केच या यहां तक ​​कि मिट्टी या नरम मोम में एक त्वरित मॉडलिंग मॉडल को भी शब्द के व्यापक अर्थ में एक स्केच माना जा सकता है। ग्रेफाइट पेंसिल एक अपेक्षाकृत नया आविष्कार है, पुनर्जागरण कलाकारों ने विशेष रूप से तैयार कागज पर चांदी की कलम का उपयोग करके रेखाचित्र बनाए।

आम धारणा के विपरीत, चित्रकारी करते समय कलाकार अक्सर इरेज़र का उपयोग करते हैं। इरेज़र का उपयोग निर्माण रेखाओं को हटाने या बहुत तेज़ रेखाओं को नरम करने के लिए किया जा सकता है।

26. विवरण

उत्पाद में शामिल भागों का निर्माण कार्यशील चित्रों के अनुसार किया जाता है, जो असेंबली ड्राइंग के अनुसार तैयार किए जाते हैं। असेंबली ड्राइंग से वर्किंग ड्राइंग बनाना डिटेलिंग कहलाता है।

विवरण के साथ आगे बढ़ने से पहले, आपको असेंबली ड्राइंग का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने, सभी अनुमानों में विवरण खोजने, यह समझने की आवश्यकता है कि वे कैसे परस्पर जुड़े हुए हैं और उत्पाद में उनकी क्या भूमिका है। विवरण देने से पहले समस्या का समाधान करना जरूरी है, सी. प्रत्येक विवरण को कितने अनुमानों और किस पैमाने पर खींचा जाना चाहिए, और विवरण के समग्र आयामों के आधार पर, यह निर्धारित करें कि इसे किस पेपर प्रारूप पर खींचा जा सकता है। विवरण देते समय, यह वांछनीय है कि विवरण पूर्ण आकार में, अर्थात 1:1 के पैमाने पर तैयार किया जाए। बड़े विवरण कम पैमाने पर तैयार किए जाते हैं। कुछ मामलों में छोटे विवरणों को प्रकृति के विरुद्ध बड़े पैमाने पर भी खींचा जाना चाहिए, ताकि पूर्ण चित्र को आसानी से पढ़ा जा सके। जब प्रत्येक व्यक्तिगत भाग के प्रारूप का मुद्दा तय हो जाता है, तो विवरण के लिए आवश्यक A1 शीट की कुल संख्या स्थापित की जानी चाहिए। कागज की एक शीट का विवरण अमूर्त रूप से नहीं किया जाना चाहिए, बल्कि प्रत्येक विवरण के लिए आवश्यक प्रारूपों को ध्यान में रखना चाहिए। इसलिए, शीट a1 में सभी आकार शामिल हो सकते हैं, बड़े भागों के लिए a2 से लेकर छोटे भागों के लिए a5 तक। विवरण की छवि के लिए इच्छित प्रत्येक प्रारूप पर, GOST के अनुसार मुख्य शिलालेख (स्टांप) लगाया जाना चाहिए।

उन हिस्सों के चित्रों पर जिन्हें असेंबली के दौरान अन्य हिस्सों के साथ मिलकर संसाधित किया जाता है, उचित निर्देश दिए जाने चाहिए, उदाहरण के लिए: डेट के साथ बोरिंग। 15.

यदि तैयार भागों को केंद्र घोंसले के संरक्षण की आवश्यकता होती है, तो बाद वाले को OST 3725 के अनुसार ड्राइंग पर दर्शाया गया है।

यदि तैयार भागों में केंद्र सॉकेट नहीं होना चाहिए, तो यह शिलालेख द्वारा ड्राइंग पर इंगित किया गया है: केंद्र सॉकेट की अनुमति नहीं है।

यदि यह संरचनात्मक रूप से उदासीन है कि केंद्र घोंसले को छोड़ा जाना चाहिए या नहीं छोड़ा जाना चाहिए, तो उन्हें भाग के चित्र पर नहीं दिखाया गया है और किसी भी नोट में निर्दिष्ट नहीं किया गया है।

भागों के कामकाजी चित्रों पर, संभोग सतहों के स्थान को निर्धारित करने वाले आयामों को, एक नियम के रूप में, संरचनात्मक आधारों से, उनके पालन और नियंत्रण की संभावना को ध्यान में रखते हुए चिह्नित किया जाना चाहिए।

चित्रों में आयामों को बंद श्रृंखला के रूप में रखने या दोहराए जाने वाले आयामों को दर्ज करने की अनुमति नहीं है।

एक ही भाग तत्व (नाली, अवकाश, आदि) से संबंधित आयामों को एक प्रक्षेपण पर समूहीकृत करने की सिफारिश की जाती है, उस प्रक्षेपण को प्राथमिकता देते हुए जिस पर यह तत्व सबसे स्पष्ट रूप से दिखाया गया है।

असेंबली ड्राइंग का विवरण देते समय, दो मामले हो सकते हैं:

1) यदि किसी दी गई असेंबली इकाई के भागों की संख्या कम है, तो भागों के चित्र असेंबली ड्राइंग के साथ एक शीट पर रखे जाते हैं। इस मामले में असेंबली ड्राइंग शीट के निचले आधे हिस्से में दाईं ओर खींची गई है;

2) यदि उत्पाद में बड़ी संख्या में हिस्से होते हैं, तो उनके चित्र एक अलग शीट पर या कई शीट पर रखे जाते हैं।

असेंबली चित्रों का विवरण देते समय, सबसे पहले, आपको मुख्य भाग, उदाहरण के लिए, शरीर, बनाना चाहिए, क्योंकि मुख्य भाग के आयाम उससे जुड़े भागों के आयामों के साथ-साथ लैंडिंग के चयन और नियुक्ति से जुड़े होते हैं। और सतह के उपचार की सफाई के संकेत। यह इसलिए भी महत्वपूर्ण है क्योंकि सभी भागों के आयाम परस्पर जुड़े होने चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि दो हिस्सों को एक साथ बोल्ट किया जाता है, तो बोल्ट के छेद की धुरी और छेद के व्यास के बीच की दूरी, जिसके माध्यम से बोल्ट गुजरते हैं, जुड़े हुए हिस्सों में समान होना चाहिए।

कामकाजी ड्राइंग में, भाग की छवि के अलावा, इसके निर्माण और नियंत्रण के लिए आवश्यक आयाम, सहनशीलता, सतह की सफाई के पदनाम, सामग्री पर डेटा, गर्मी उपचार, फिनिश और तैयार भाग के लिए अन्य तकनीकी आवश्यकताएं भी शामिल होनी चाहिए। यदि बाद वाले को तकनीकी विशिष्टताओं में शामिल नहीं किया गया है।

स्वीकृत पैमाने के बावजूद, भागों के कामकाजी चित्रों में केवल वास्तविक आयाम ही चिपकाए जाते हैं।

भाग के संभोग तत्वों के आयामों को सहनशीलता और फिट के साथ प्रदान किया जाना चाहिए। रैखिक आयामों के लिए सहनशीलता, छिद्रों के बीच की दूरी आदि को भी इंगित किया जाना चाहिए। एक अपवाद वे आयाम हैं जो एक ही सतह पर सतह खत्म होने की अलग-अलग डिग्री के क्षेत्रों को परिभाषित करते हैं, गर्मी उपचार क्षेत्र, खत्म, गैर-जिम्मेदार कक्षों के आकार और गोलाई त्रिज्या, इत्यादि, जिन्हें बिना अनुमति के चिपकाया जा सकता है।

पी पी और एम ई एच ए एन और आई। 1. इसे सीधे आयामों पर चिपकाने की अनुमति नहीं है, बल्कि ड्राइंग के मुक्त क्षेत्र पर उपयुक्त सामान्य शिलालेख के साथ सहिष्णुता की अलग, व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली श्रेणियां निर्धारित करने की अनुमति है, उदाहरण के लिए: मुक्त आयामों के लिए सहिष्णुता, कच्चे कच्चे के आयामों के लिए सहिष्णुता किसी भाग के तत्व, आदि। साथ ही, कारखाने या विभागीय मानदंडों के संदर्भ की अनुमति नहीं है।

2. मुक्त आयाम वे हैं जो आयामी श्रृंखलाओं में शामिल नहीं हैं और भागों के कनेक्शन की प्रकृति को सीधे प्रभावित नहीं करते हैं (

यदि शीट, रोल्ड, कैलिब्रेटेड या अन्य प्रकार की मानक सामग्री प्रोफाइल से बने भागों में, व्यक्तिगत भागों को संसाधित नहीं किया जाता है, तो आयाम, एक नियम के रूप में, सहनशीलता के बिना चिपकाए जाते हैं।

कुछ मामलों में, जब डिज़ाइन स्थितियों में इन सहनशीलता की आवश्यकता होती है, तो ऐसे आयामों को सहनशीलता के साथ जोड़ा जाता है जो उपयोग की जाने वाली सामग्री प्रोफाइल के लिए प्रासंगिक मानकों या विशिष्टताओं द्वारा स्थापित की जाती हैं।

यदि कनेक्शन की आवश्यक सटीकता या अन्य परिचालन गुण चयन, फिटिंग आदि द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, तो इंटरफेस की प्रकृति, उनके प्रावधान की विधि और नियंत्रण की विधि के संबंध में चित्रों में निर्देश देना आवश्यक है।

GOST 2789-45 के अनुसार प्रसंस्करण की सफाई के संकेत लागू करते समय, आपको प्रसंस्करण की बढ़ी हुई सफाई का संकेत नहीं देना चाहिए, जहां इसकी आवश्यकता नहीं है, ताकि भाग के निर्माण की लागत में वृद्धि न हो।

यदि भाग की सतहों को उसी तरह से व्यवहार किया जाना चाहिए, तो यह ड्राइंग पर लिखा गया है: एक सर्कल में पारंपरिक संकेतों के साथ प्रसंस्करण की शुद्धता की डिग्री का संकेत मिलता है (

ड्राइंग करते समय, यदि आवश्यक हो, तो आपको भाग के अनुभाग दिखाने होंगे, और कुछ मामलों में, अलग-अलग स्थानों के अनुभाग दिखाने होंगे। वे भाग की रूपरेखा में स्पष्टता लाएंगे।

27. नक्काशी

धागा - एक स्थिर खंड के समान दूरी वाले उभार या गुहाएं, जो एक स्थिर पिच के साथ एक पेचदार रेखा के साथ पार्श्व बेलनाकार या शंक्वाकार सतह पर बनते हैं। यह थ्रेडेड कनेक्शन, स्क्रू गियर और गियर-स्क्रू ड्राइव का वर्म का मुख्य तत्व है।

धागों का वर्गीकरण एवं मुख्य विशेषताएं

पिच इकाई (मीट्रिक, इंच, मॉड्यूलर, पिच धागा)

सतह का स्थान (बाहरी और आंतरिक धागा)

पेचदार सतह की गति की दिशा (दाएं, बाएं);

रनों की संख्या (एकल और बहु-प्रारंभ), उदाहरण के लिए, दो-प्रारंभ, तीन-प्रारंभ, आदि;

प्रोफ़ाइल (त्रिकोणीय, समलम्बाकार, आयताकार, गोल, आदि);

गठन सतह जिस पर धागा स्थित है (बेलनाकार धागा और शंक्वाकार धागा);

नियुक्ति (फिक्सिंग, फिक्सिंग और सीलिंग, चेसिस, आदि)।

28.धागा पदनाम

मोंज आरेख या एक जटिल रेखाचित्र एक ज्यामितीय आकृति के दो या दो से अधिक परस्पर जुड़े हुए ऑर्थोगोनल प्रक्षेपणों से बना एक चित्र है।

ज्यामितीय आकृतियों के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपणों को प्रदर्शित करने के लिए स्थानिक लेआउट का उपयोग करना इसके भारीपन के कारण असुविधाजनक है, और इस तथ्य के कारण भी कि जब इसे कागज की शीट पर स्थानांतरित किया जाता है, तो अनुमानित आकृति का आकार और आकार एच और डब्ल्यू पर विकृत हो जाता है। विमान.
इसलिए, स्थानिक लेआउट के चित्रण में छवि के बजाय मोंज प्लॉट का उपयोग किया जाता है।

मोंज आरेख एच और डब्ल्यू विमानों को ललाट प्रक्षेपण विमान वी के साथ जोड़कर स्थानिक लेआउट को परिवर्तित करके प्राप्त किया जाता है:
- H समतल को V के साथ संरेखित करने के लिए, इसे x अक्ष के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में 90 डिग्री घुमाएँ। चित्र में, स्पष्टता के लिए, समतल एचअक्ष पर 90 डिग्री से थोड़ा कम कोण पर घुमाया गया य, क्षैतिज प्रक्षेपण विमान से संबंधित, घूर्णन के बाद अक्ष के साथ मेल खाता है जेड;
- क्षैतिज तल को संरेखित करने के बाद अक्ष के चारों ओर घुमाएँ जेडदक्षिणावर्त गति के विपरीत दिशा में प्रोफ़ाइल तल से 90 डिग्री के कोण पर भी। उसी समय, अक्ष य, प्रक्षेपण के प्रोफ़ाइल विमान से संबंधित, घूर्णन के बाद अक्ष के साथ मेल खाता है एक्स.

परिवर्तन के बाद, स्थानिक लेआउट चित्र में दिखाए गए रूप को ले लेगा। यह आंकड़ा प्रक्षेपण विमानों के तल की सापेक्ष स्थिति के अनुक्रम को भी दर्शाता है, इसलिए रिकॉर्ड वीइंगित करता है कि स्पंज प्लॉट के इस भाग में (अक्षों की सकारात्मक दिशा द्वारा सीमित)। एक्सऔर जेड) हमारे करीब ललाट प्रक्षेपण तल का ऊपरी बायां तल है वी, इसके पीछे क्षैतिज प्रक्षेपण तल का पिछला बायां तल है एच, प्रोफ़ाइल विमान के ऊपरी पीछे के तल के बाद डब्ल्यू.

चूंकि विमानों की कोई सीमा नहीं है, तो संयुक्त स्थिति में (आरेख पर) इन सीमाओं को नहीं दिखाया गया है, प्रक्षेपण विमानों के तल की स्थिति को इंगित करने वाले शिलालेख छोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है। यह याद दिलाना भी अनावश्यक है कि निर्देशांक अक्षों की नकारात्मक दिशा कहाँ है। फिर, अपने अंतिम रूप में, स्थानिक लेआउट ड्राइंग की जगह मोंज आरेख चित्र में दिखाए गए रूप को ले लेगा।

Monge प्लॉट इसके साथ किया जा सकता है:

- पारंपरिक ड्राइंग उपकरण और फिक्स्चर:
चित्रकारी के औज़ार;
ड्राइंग सहायक उपकरण और उपकरण;
- मोंज आरेख के निर्माण (चित्रांकन) के लिए कार्यक्रम: एक ग्राफिक्स संपादक में एक चित्र बनाना।

मोंज आरेख के डिज़ाइन के उदाहरण के रूप में, हम एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC के निर्माण की समस्या का समाधान प्रस्तुत करते हैं:

- समस्या की स्थिति से ज्ञात को काले रंग में प्रदर्शित किया जाता है;
- हरे रंग में समस्या के समाधान की ओर ले जाने वाले सभी निर्माण प्रदर्शित होते हैं;
- खोजे गए कार्य लाल रंग में प्रदर्शित होते हैं।
समस्या की स्थिति के अनुसार, त्रिभुज ABC(A`B`C`, A»B»…”) के प्रक्षेपण दिए गए हैं। समस्या को हल करने के लिए, लुप्त प्रक्षेपण C को खोजना आवश्यक है।

स्पंज विधि, जटिल ड्राइंग।

बिंदु प्रक्षेपण, जटिल रेखाचित्र।

परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमान।

दो और तीन पर आयताकार प्रक्षेपण की विधियाँ

ऑर्थोग्राफ़िक प्रक्षेपण गुण

बुनियादी और अपरिवर्तनीय गुण ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के (अपरिवर्तनीय) निम्नलिखित हैं:

1) बिंदु प्रक्षेपण - बिंदु;

2) एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण - सामान्य स्थिति में, एक सीधी रेखा; यदि प्रक्षेपण की दिशा सीधी रेखा की दिशा से मेल खाती है, तो बाद वाले का प्रक्षेपण एक बिंदु है;

3) यदि कोई बिंदु किसी रेखा से संबंधित है, तो इस बिंदु का प्रक्षेपण रेखा के प्रक्षेपण से संबंधित है।

4) समानांतर रेखाओं के प्रक्षेपण एक दूसरे के समानांतर होते हैं;

5) रेखाखंडों का अनुपात उनके प्रक्षेपणों के अनुपात के बराबर है;

6) दो समानांतर रेखाओं के खंडों का अनुपात उनके प्रक्षेपणों के अनुपात के बराबर है;

7) दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का प्रक्षेपण इन रेखाओं के प्रक्षेपणों का प्रतिच्छेदन बिंदु है;

8) यदि कोई सीधी या सपाट आकृति प्रक्षेपण तल के समानांतर है, तो उन्हें बिना किसी विरूपण के इस तल पर प्रक्षेपित किया जाता है;

9) यदि समकोण का कम से कम एक पक्ष प्रक्षेपण के विमान के समानांतर है, और दूसरा इसके लंबवत नहीं है, तो समकोण को इस विमान पर समकोण में प्रक्षेपित किया जाता है।

यदि प्रक्षेपण तल के सापेक्ष किसी बिंदु की दूरी की जानकारी किसी संख्यात्मक चिह्न की सहायता से नहीं, बल्कि दूसरे प्रक्षेपण तल पर बने बिंदु के दूसरे प्रक्षेपण की सहायता से दी जाए, तो रेखाचित्र कहलाता है दो चित्र या विस्तृत. ऐसे चित्र बनाने के लिए बुनियादी सिद्धांत निर्धारित किए गए हैं गैसपार्ड मोंगे - 18वीं सदी के अंत, 19वीं सदी की शुरुआत, 1789-1818 का एक प्रमुख फ्रांसीसी जियोमीटर। पेरिस में प्रसिद्ध पॉलिटेक्निक स्कूल के संस्थापकों में से एक और माप और वजन की मीट्रिक प्रणाली की शुरूआत पर काम में भागीदार।

ऐसी छवियों के धीरे-धीरे संचित अलग-अलग नियमों और तकनीकों को सिस्टम में लाया गया और जी मोंगे के काम "ज्यामिति वर्णनात्मक" में विकसित किया गया।

दो परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमानों पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण की मोंगे की विधि तकनीकी चित्र बनाने की मुख्य विधि थी और बनी हुई है।

जी मोंगे द्वारा प्रस्तावित विधि के अनुसार, हम अंतरिक्ष में दो परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमानों पर विचार करते हैं (चित्र 6)। प्रक्षेपण विमानों में से एक पी 1 क्षैतिज रूप से रखा गया, और दूसरा पी 2 - लंबवत। पी 1 -क्षैतिज प्रक्षेपण विमान, पी 2 - ललाट. विमान अनंत और अपारदर्शी हैं।

प्रक्षेपण विमान अंतरिक्ष को चार डायहेड्रल कोणों - क्वार्टरों में विभाजित करते हैं। ऑर्थोगोनल अनुमानों को ध्यान में रखते हुए, यह माना जाता है कि पर्यवेक्षक प्रक्षेपण विमानों से अनंत रूप से बड़ी दूरी पर पहली तिमाही में है।

चित्र 6. दो प्रक्षेपण विमानों का स्थानिक मॉडल

प्रक्षेपण तलों की प्रतिच्छेदन रेखा को आमतौर पर निर्देशांक अक्ष कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है एक्स 21 . चूँकि ये तल अपारदर्शी हैं, केवल वे ज्यामितीय वस्तुएँ जो उसी पहली तिमाही के भीतर स्थित हैं, पर्यवेक्षक को दिखाई देंगी। निर्दिष्ट प्रक्षेपणों से युक्त एक सपाट चित्र प्राप्त करने के लिए, समतल पी 1 अक्ष के चारों ओर घूमकर संयोजित करें एक्स 12 फ्लैट के साथ पी 2 (चित्र 6)। एक प्रक्षेपण रेखाचित्र, जिस पर प्रक्षेपण तल और उन पर दर्शाई गई हर चीज एक दूसरे के साथ एक निश्चित तरीके से संयुक्त होती है, सामान्यतः कहलाती है स्पंज आरेख(फ्रेंच इप्योर - ड्राइंग।) या एक जटिल ड्राइंग।

स्पंज विधि, जटिल ड्राइंग। - अवधारणा और प्रकार. "मोंज विधि, जटिल ड्राइंग" श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं। 2017, 2018.

परिचय ................................................. . .................................................. .. ..4

1 समस्याओं को सुलझाने के लिए पद्धति संबंधी निर्देश..................................4

2 अपनाए गए प्रतीक .................................................................. ............... ...................5

3 विषय 1 मोंगे का जटिल चित्रण (बिंदु, रेखा) .......6

3.1 एक बिंदु का जटिल चित्रण। ........ ....................................................... ...................6

व्यायाम. .................................................. . .................................................. .. 6

कार्य. .................................................. . .................................................. .. ............7

समस्या समाधान के उदाहरण…………………………………………………… ...................8

ज्ञान आत्म-नियंत्रण परीक्षण……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………10

3.2 एक सीधी रेखा का जटिल चित्रण ................................................... ............... ...................ग्यारह

व्यायाम. .................................................. . .................................................. .ग्यारह

कार्य. .................................................. . .................................................. .. .......12

समस्या समाधान के उदाहरण…………………………………………………… ..13

ज्ञान आत्म-नियंत्रण परीक्षण………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………15

4 विषय 2 मोंगे (विमान) का जटिल चित्रण....... 17 अधिकारों और विमानों की लंबवतता

4.1 एक विमान का जटिल चित्रण ................................................. ............... ..........17

व्यायाम. ……………………………………………………………. .................................. ..............17

कार्य. ……………………………………… .................................................. . .......19

समस्याओं को हल करने के उदाहरण ................................................. ................................... 21

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के परीक्षण……………………………………………………21

4.2 रेखाओं और तलों की लंबवतता................................................. ...................23

व्यायाम. .................................................. . .................................................. .23

कार्य. ……………………………………… .................................................. . .......24

समस्याओं को हल करने के उदाहरण ................................................. .................................. 25

ज्ञान का आत्म-नियंत्रण परीक्षण…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

5 विषय 3 रेखाओं और तलों की पारस्परिक स्थिति

व्यायाम. .................................................. . .................................................. .27

कार्य. .................................................. . .................................................. .. .........29

समस्या समाधान के उदाहरण. .................................................. . ..............................तीस

ज्ञान आत्म-नियंत्रण परीक्षण………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….

6 विषय किसी चित्र को रूपांतरित करने के 4 तरीके .......................33

व्यायाम. .................................................. . .................................................. .33

कार्य................................................. .................................................. . ...........34

समस्या समाधान के उदाहरण. .................................................. . ..................................36

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के परीक्षण……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7 विषय 5 बहुआयामी सतहें................................................... ....40

व्यायाम. .................................................. . .................................................. .40

कार्य. .................................................. . .................................................. .. .........41

समस्या समाधान के उदाहरण. .................................................. . ..................................43

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के परीक्षण ................................................... .... .......................................44

सन्दर्भ……………………………………………… ........47

आवेदन.................................................................................................47

परिचय

ट्यूटोरियलभूमि प्रबंधन और वानिकी संकाय के छात्रों के लिए वर्णनात्मक ज्यामिति में प्रयोगशाला कक्षाओं के लिए अभिप्रेत है (दिशा-निर्देश: 250700 - लैंडस्केप आर्किटेक्चर, 250100 - वानिकी)।

मैनुअल का उपयोग छात्रों द्वारा अगले पाठ के लिए स्व-तैयारी में किया जाता है। ऐसा करने के लिए, उसे यह करना होगा:

किसी दिए गए विषय पर सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करें और आत्म-नियंत्रण प्रश्नों का उत्तर दें;

दिए गए विषय पर अभ्यास पूरा करें।

पाठ की शुरुआत में, शिक्षक छात्रों की सैद्धांतिक तैयारी और किसी दिए गए विषय पर अभ्यास के समाधान की जाँच करता है। प्रत्येक विषय के अंत में, विशिष्ट समस्याओं को हल करने के उदाहरण. किसी नए विषय के अभ्यास को हल करना शुरू करते समय, संबंधित उदाहरण से खुद को परिचित करना और ड्राइंग के डिजाइन में उसका पालन करना उपयोगी होता है।

मैनुअल का उपयोग छात्रों द्वारा भी किया जा सकता है परीक्षणों पर अर्जित ज्ञान का आत्म-नियंत्रणविशिष्ट समस्याओं को हल करने के उदाहरणों के बाद मैनुअल में दिया गया है। ऐसा करने के लिए, उसे यह करना होगा:

प्रत्येक पाठ के बाद, ज्ञान के आत्म-नियंत्रण परीक्षणों का उत्तर दें, और मैनुअल के परिशिष्ट में दिए गए उत्तरों का उपयोग करके अपने ज्ञान की शुद्धता की जांच करें।

मैनुअल के साथ काम करने की प्रक्रिया में, छात्र समस्याओं को हल करने में उपयोग की जाने वाली व्यावहारिक तकनीकों को सीखते हैं, जो उन्हें स्वतंत्र रूप से हल करने के लिए कौशल और क्षमताओं को विकसित करने की अनुमति देता है। जैसे-जैसे यह अनुभव एकत्रित होता जाता है, छात्र स्थानिक और तार्किक सोच विकसित करते हुए पेशेवर स्तर पर स्वतंत्र रूप से सोचना शुरू कर देते हैं।

समाधान के लिए पद्धति संबंधी निर्देश और

कार्य बनाना

समस्याओं का समाधान करते समय, आपको निम्नलिखित अनुशंसाओं द्वारा निर्देशित होना चाहिए:

1. ज्यामितीय आकृतियों के अनुमानों के अनुसार जो समस्या का प्रारंभिक डेटा बनाते हैं, एक दूसरे के संबंध में और प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष अंतरिक्ष में उनके आकार और सापेक्ष स्थिति की कल्पना करें।

2. समस्या के समाधान के लिए एक "स्थानिक" योजना की रूपरेखा तैयार करें। समाधान के इस चरण में, किसी को प्रारंभिक ज्यामिति अनुभाग "प्लेनिमेट्री" और "स्टीरियोमेट्री" के पाठ्यक्रम के प्रमेयों के साथ-साथ पाठ्यपुस्तकों और व्याख्यानों में सैद्धांतिक सामग्री का उल्लेख करना चाहिए।

3. समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम निर्धारित करें, स्वीकृत नोटेशन का उपयोग करके ग्राफिकल निर्माणों के अनुक्रम को संक्षेप में लिखें।

4. ज्यामितीय निर्माण के लिए आगे बढ़ें।

किसी समस्या को ग्राफिक रूप से हल करते समय, उत्तर की सटीकता न केवल इसे हल करने के सही तरीके की पसंद पर निर्भर करती है, बल्कि ज्यामितीय निर्माणों की सटीकता पर भी निर्भर करती है। इसलिए, समस्या को हल करते समय ड्राइंग टूल्स का उपयोग करना आवश्यक है। प्रयोगशाला अभ्यास के लिए एक पिंजरे में कार्यों को एक अलग नोटबुक में हल किया जाना चाहिए। लाइनों का प्रकार और मोटाई GOST 2.303-68 ESKD के अनुसार की जाती है। निर्माण पेंसिल से किये जाते हैं। हल करने की प्रक्रिया में प्राप्त ड्राइंग को पढ़ना आसान बनाने के लिए, रंगीन पेंसिलों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है: दिए गए तत्वों को काले रंग में, सहायक निर्माणों को नीले रंग में, वांछित तत्वों को लाल रंग में रेखांकित किया गया है। सभी बिंदुओं और रेखाओं के अनिवार्य पदनाम द्वारा एक ही लक्ष्य का पीछा किया जाता है। इस मामले में, रेखा खींचने या रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण करने के तुरंत बाद समस्या को हल करने की प्रक्रिया में पदनाम किया जाना चाहिए। शिलालेख और पत्र पदनाम GOST 2.304-84 ESKD के अनुसार मानक फ़ॉन्ट में बनाए जाने चाहिए।

हल की गई समस्याओं वाली एक नोटबुक परीक्षण या परीक्षा में शिक्षक को प्रस्तुत की जाती है।

स्वीकृत पदनाम

ए बी सी डी,…या 1, 2, 3, 4, ... - बिंदु पदनाम; लैटिन वर्णमाला या अरबी अंकों के बड़े अक्षर।

ओ - एक बिंदु की छवि (बिंदु स्थान क्षेत्र); हाथ से एक पतली रेखा के साथ 2-3 मिमी व्यास वाला एक वृत्त।

ए बी सी डी,... - अंतरिक्ष में एक रेखा; लैटिन वर्णमाला के छोटे अक्षर.

Γ, Σ, Δ,… - समतल, सतहें; ग्रीक वर्णमाला के बड़े अक्षर.

α, β, γ, δ, ... - कोने; ग्रीक वर्णमाला के छोटे अक्षर.

पी -प्रक्षेपण तल (चित्र तल); ग्रीक वर्णमाला का बड़ा अक्षर (pi)।

अब- बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा ए और में .

[एबी]- बिंदुओं से घिरा खंड ए और में .

[अब ) एक बिंदु से घिरी हुई किरण है ए और बिंदु से गुजर रहा है में।

/अब /-खंड का प्राकृतिक आकार[ अब] (मूल के बराबर)।

/आ /-बिंदु से दूरी ए लाइन तक एक।

/एΣ /-बिंदु से दूरी ए विमान तक Σ .

/अब /- लाइनों के बीच की दूरी ए और बी।

/जीडी/ - सतहों जी और डी के बीच की दूरी।

≡- संयोग (A≡B - बिंदु A और B संपाती हैं)।

║ - समानांतर।

^ - लंबवत।

∩ - चौराहा।

О - का है, समुच्चय का एक तत्व है।

आरएबीसी - बिंदु बी पर शीर्ष के साथ कोण।

संकेतों की छवि तकनीकी और वैज्ञानिक दस्तावेज़ीकरण के डिजाइन के लिए स्वीकृत मानकों के अनुसार की जानी चाहिए।

विषय 1 मोन्गे का एकीकृत चित्रण

(बिंदु, प्रत्यक्ष)

आत्मसंयम के प्रश्न

1. किसी बिंदु का प्रक्षेपण किसे कहते हैं?

2. प्रक्षेपण अक्ष किसे कहते हैं? किन सीधी रेखाओं को "लिंक रेखाएँ" कहा जाता है और वे प्रक्षेपण अक्ष के सापेक्ष कैसे स्थित होती हैं?

3. क्या आप अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को उसके प्रक्षेपणों द्वारा पुनर्स्थापित कर सकते हैं?

4. आप एक जटिल रेखाचित्र पर एक सीधी रेखा कैसे सेट कर सकते हैं?

5. सामान्य स्थिति में कौन सी रेखाएँ रेखाएँ कहलाती हैं? निजी स्थिति की पंक्तियों का नाम बताइए।