Fibonacci numbrid.

Paljude kombinatoorsete ülesannete lahendamisel kasutatakse meetodit etteantud ülesande taandamiseks väiksemat arvu elemente puudutavaks ülesandeks. Näiteks saate tuletada permutatsioonide arvu valemi:

See näitab, et seda saab alati taandada väiksema arvu faktoriaaliks.

Korduvate suhete ülesehituse hea näide on Fibonacci probleem. Itaalia matemaatik Fibonacci esitas oma raamatus 1202. aastal järgmise ülesande. Küülikupaar sünnitab kord kuus kaks jänest (emane ja isane) ning vastsündinud küülikud toovad kaks kuud pärast sündi ise järglasi. Kui palju küülikuid aastas ilmub, kui alguses oli üks paar küülikuid.

Probleemi tingimustest järeldub, et kuu aja pärast on kaks paari küülikuid, kahe kuu pärast annab järglasi vaid kaks kuud tagasi ilmunud esimene küülikupaar, seega on kokku 3 paari küülikuid. Kuu aja pärast on 5 paari. Ja nii edasi.

Märgitakse küülikute paaride arvuga pärast aasta algusest möödunud kuid. Siis saab kuu pärast küülikute paaride arvu leida valemiga:

Seda sõltuvust nimetatakse korduv suhe . Sõna "rekursioon" tähendab tagasiminekut (meie puhul varasemate tulemuste juurde tagasiminekut).

Tingimuse ja , siis seose järgi on meil: , jne, .

Definitsioon 1: Numbritele helistatakse Fibonacci numbrid . See on matemaatikas hästi tuntud numbrijada:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Selles jadas on iga järjestikune arv kahe eelmise arvu summa. Ja kordusrelatsioonis leitakse ka järgmine liige kahe eelmise liikme summana.

Teeme seose Fibonacci arvude ja kombinatoorse ülesande vahel. Olgu nõutud numbri leidmine - nullidest ja ühtedest koosnevad jadad, milles ei ole kahte ühte järjest.

Võtame suvalise sellise jada ja võrdleme sellega küülikupaari järgmise reegli järgi: selle paari "esivanemate" ühe paari (ka algse) sünnikuud vastavad ühtedele ja kõik ülejäänud kuud. vastavad nullidele. Näiteks jada kehtestab sellise "genealoogia" - paar ise ilmus 11. kuu lõpus, tema vanemad 7. kuu lõpus, "vanaisa" 5. kuu lõpus ja "vanavanaisa" " 2. kuu lõpus. Esialgne paar krüpteeritakse järjestusega . Üheski järjestuses ei saa kaks üksust järjest seista – äsja ilmunud paar ei saa kuu aja pärast järglasi sünnitada. Ilmselgelt vastavad erinevatele paaridele erinevad järjestused ja vastupidi.

Seega on määratud omadustega jadade arv .

1. teoreem: Arv leitakse binoomkoefitsientide summana:. Kui on veider, siis. Kui on paaris, siis . Muidu: on arvu täisarv osa .

Tõestus: Tõepoolest, see on kõigi jadade arv 0 ja 1, milles ei ole kahte 1-t kõrvuti. Selliste jadade arv, mis sisaldavad täpselt 1-sid ja 0-sid, on , while , siis varieerub vahemikus 0 kuni . Rakendades summareeglit, saame antud summa.

Seda võrdsust saab tõestada ka muul viisil. Tähistage:

Võrdsusest järeldub , et . Lisaks on selge, et ja . Kuna mõlemad jadad ja vastavad kordussuhtele , siis , ja .

Definitsioon 2: Kordumise seos on tellida , kui see võimaldab arvutada läbi jada eelmiste liikmete: .

Näiteks on teist järku korduv seos ja 3. järku rekursiivne seos. Fibonacci suhe on teist järku suhe.

Definitsioon 3: otsus kordusrelatsioon on jada, mis seda seost rahuldab.

Kui on antud järgu rekursiivne seos, siis rahuldab seda lõpmatult palju jadasid, sest esimesi elemente saab suvaliselt seadistada. Kuid kui esimesed elemendid on antud, määratakse ülejäänud terminid üheselt.

Näiteks Fibonacci suhet saab lisaks ülaltoodud jadale 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... rahuldada ka teiste jadadega. Näiteks jada 2, 2, 4, 8, 12,... on üles ehitatud samal põhimõttel. Kuid kui määrate algterminid (neid on Fibonacci jadas 2), määratakse lahendus üheselt. Esialgseid termineid võetakse sama palju kui suhte järjekord.

Teadaolevate kordusseoste ja algterminite järgi saame järjestuse liikmed üksteise järel välja kirjutada ja nii saame suvalise selle liikme. Kuid paljudel juhtudel pole vaja kõiki eelmisi liikmeid, vaid ühte kindlat liiget. Sel juhul on mugavam omada jada -nda liikme valem.

Me ütleme, et teatud jada on antud kordusrelatsiooni lahendus, kui selle jada asendamisel on seos identselt täidetud.

Näiteks jada on üks seose lahendusi: . Seda on lihtne kontrollida lihtsa asendusega.

Definitsioon 4: Nimetatakse järgu kordusseose lahendus üldine , kui see sõltub suvalistest konstantidest , mida muutes, saad selle seose mis tahes lahendi.

Näiteks suhte puhul on üldine lahendus .

Tõepoolest, on lihtne kontrollida, kas see on meie suhtele lahendus. Näitame, et sellisel kujul on võimalik saada mis tahes lahendus. Las ja ole meelevaldne.

Siis on selliseid ja selliseid

Ilmselgelt on võrrandisüsteemil iga jaoks ainulaadne lahendus.

Definitsioon 5: Kordumise seost nimetatakse lineaarne kui see on kirjutatud järgmiselt:

kus on arvulised koefitsiendid.

Üldiselt ei ole suvaliste korduvate suhete lahendamiseks üldisi reegleid. Lineaarsete kordussuhete lahendamiseks on aga olemas üldreeglid lahendusi.

Mõelge esmalt 2. järku seosele.

Selle seose lahendus põhineb järgmistel väidetel.

2. teoreem: Kui ja - on antud 2. järku kordusrelatsiooni lahendus, siis mis tahes arvude ja jada puhul on ka selle seose lahendus.

3. teoreem: Kui arv on ruutvõrrandi juur, siis on jada kordusseose lahendus.

Teoreemidest 2, 3 järgneb 2. järku lineaarsete kordusseoste lahendamise reegel.

Olgu antud rekursiivne seos.

1) Koostage ruutvõrrand, mida nimetatakse iseloomulik selle suhte jaoks. Otsime üles Kõik selle võrrandi juured (isegi mitmekordsed ja keerukad).

2) Koostage kordusseose üldlahend. Selle struktuur sõltub juurte tüübist (need on samad või erinevad).

a) Kui sellel suhtel on kaks erinev juur ja , siis on seose üldlahend kujul .

Tõepoolest, teoreemidest 2, 3 sellest järeldub, et - lahend ja võrrandisüsteem

Sellel on üks lahendus, sest arvestades seda.

Näiteks Fibonacci arvude jaoks on meil . Iseloomulik võrrand on kujul: . Viimase võrrandi lahendamisel saame juured:, .

Kui kõik tunnusvõrrandi juured on erinevad, siis on üldlahend järgmisel kujul: .

Kui näiteks , siis sellele juurele vastavad lahendused:

antud kordumise seos. Üldlahenduses vastab see juur osale .

Näiteks, lahendades kordumise seose:

koostame vormile iseloomuliku võrrandi: .

Selle juured,. Seetõttu on olemas üldine lahendus.

Suure hulga vaatlusandmetega X Lõplikud meetodid tõenäosusvõrrandi lahendamiseks toovad kaasa olulisi arvutusraskusi, mis on seotud vajadusega meeles pidada suurt hulka algandmeid ja arvutuste vahetulemusi. Sellega seoses pakuvad erilist huvi korduvad meetodid, mille puhul arvutatakse maksimaalse tõenäosuse hinnang järk-järgult suureneva täpsusega, iga samm on seotud uute vaatlusandmete hankimisega ja korduv protseduur on üles ehitatud nii, et see salvestatakse mäluma võimalikult vähe andmeid eelmistest.sammud. Täiendav ja väga oluline eelis rekursiivsete meetodite praktilisest aspektist on valmisolek väljastada tulemus igal vaheetapil.

See teeb soovitatavaks kasutada korduvaid meetodeid ka juhtudel, kus maksimaalse tõenäosuse võrrandi täpne lahend on võimalik saada lõpliku meetodiga ning muudab need veelgi väärtuslikumaks, kui maksimumi hindamiseks ei ole võimalik leida täpset analüütilist avaldist. tõenäosus.

Olgu vaatlusandmete hulk jada, mille kirjeldamiseks võtame kasutusele vektori . (Nagu alati, iga selle komponent võib omakorda olla vektor, juhusliku protsessi segment jne). Laskma olla tõenäosusfunktsioon ja

selle logaritm. Viimast saab alati kujutada kui

Ilma viimase väärtuseta vaatlusandmete kogumi logaritmiline tõenäosus ja

Väärtuse tingimusliku tõenäosustiheduse logaritm ja antud väärtuste korral.

Tõenäosusfunktsiooni logaritmi esitus (7.5.16) on aluseks maksimaalse tõenäosuse hinnangu arvutamiseks korduva protseduuri saamiseks. Vaatleme tavalist juhtumit. Sel juhul võib võrrandi lahendusena leida maksimaalse tõenäosuse hinnangu

mis erineb (7.1.6)-st vaid indeksi kasutuselevõtuga p y tõenäosusfunktsiooni logaritm.

Tähistame selle võrrandi lahendust, rõhutades, et see hinnang saadi vaatlusandmete kogumikust . Samamoodi tähistame võrrandi lahendusega andmestikust saadud maksimaalse tõenäosuse hinnangut.

Võrrandit (7.5.19) saab (7.5.16) arvesse võttes ümber kirjutada järgmisel kujul:

Laiendame (7.5.20) vasakut külge Taylori seeriaks punkti läheduses. Kus

(7.5.22)

Funktsiooni gradientvektor punktis ; termin kaob, kuna , on eelmise tõenäosuse võrrandi lahendus (P - 1) samm:

Tõenäosusfunktsiooni logaritmi teise tuletise sümmeetriline maatriks punktis , võetuna vastupidise märgiga, on laienduse kirjutamata liikmetel ruut- ja suurem väiksuse järg erinevuse suhtes. Jättes need viimased tähelepanuta, saame maksimaalse tõenäosuse võrrandi järgmise ligikaudse lahendi:

kus on maatriks, pöördväärtus .

See lahendus esitatakse kordusseosena, mis määrab hinnangu järgmise väärtuse eelmise etapi hinnangu ja paranduse kaudu , sõltuvad otseselt ja eelneva hindamise kaudu olemasolevatest vaatlusandmetest. Parandus moodustatakse äsja saadud väärtuse tingimusliku tõenäosustiheduse logaritmi gradiendi korrutisena X n punktis, mis on võrdne eelmise hinnanguga, kaalumaatriksile . Viimase määrab avaldis (7.5.23) ja see sõltub ka eelmise etapi hinnangust ning selle sõltuvus uutest vaatlusandmetest on täielikult määratud tingimusliku tõenäosustiheduse logaritmi vormiga.

Seose vorm (7.5.24) on väga sarnane (7.5.8), mis rakendab iteratiivset viisi maksimaalse tõenäosuse hinnangu arvutamiseks Newtoni meetodil. Kuid tegelikult erinevad need üksteisest oluliselt. Punktis (7.5.8) määratakse hinnangu eelmise väärtuse parandus kogu tõenäosusfunktsiooni logaritmi gradiendi suuruse järgi, mis sõltub alati kõigist olemasolevatest vaatlusandmetest , mis nõuab kogu populatsiooni meeldejätmist. Vastavalt punktile (7.5.24) määrab paranduse gradiendi suurus, mis tingimusliku tõenäosustiheduse omaduste tõttu sõltub tegelikult ainult nendest väärtustest (), mis on tugevas statistilises seoses koos X n. See erinevus tuleneb eelmise lähenduse erivalikust, kuna vaatlusandmete kogumi põhjal leitud maksimaalse tõenäosuse hinnang on vähendatud ühe väärtuse võrra, ja see on eriti väljendunud sõltumatute väärtuste puhul (). Sel viimasel juhul

mille tõttu see sõltub ainult ja X n ja gradient pärineb ainult hinnangu eelmisest väärtusest ja uuest saadud väärtusest P- Seireandmete samm. Seetõttu ei ole sõltumatute väärtuste jaoks vektori moodustamiseks vaja salvestada muud teavet eelmisest etapist, välja arvatud hinnangu väärtus.

Samamoodi Markovi vaatlusandmete jada puhul, st millal

vektor sõltub ainult , praegusest ja ühest eelnevast väärtusest . Sel juhul on arvutamiseks vaja eelmisest sammust lisaks väärtusele meelde jätta ainult väärtus , kuid mitte kogu vaatlusandmete kogum, nagu iteratiivses protseduuris. Üldjuhul võib arvutus nõuda suurema arvu eelmiste väärtuste salvestamist (), kuid kuna on vaja võtta arvesse ainult neid väärtusi, mis statistiliselt sõltuvad , on see arv peaaegu alati väiksem kui vaatlusandmete kogumaht. Seega, kui vektor kirjeldab ajajada, siis selle jada meeldejäävate liikmete arvu määrab selle korrelatsiooni aeg ja nende suhteline osakaal väheneb pöördvõrdeliselt n, nagu sõltumatute väärtuste puhul.

Vaatleme nüüd korduva seose (7.5.24) hulka kuuluva kaalumaatriksi struktuuri. Vastavalt definitsioonile (7.5.23) sõltub see termini olemasolust üldiselt kõigist väärtustest, isegi sõltumatute väärtuste puhul, mis jätab kordusseost (7.5.24) ilma ühega seotud eelistest. eelmisest etapist salvestatud andmete hulga võimalik vähendamine. Maatriksi ligikaudseks määramiseks on mitu võimalust , mis selle puuduse parandavad.

Esimene neist põhineb hinnangu ja kahe järjestikuse väärtuse väikese erinevuse põhieelduse järjekindlamal kasutamisel, mis on kordusseose (7.5.24) saamise aluseks. See võimaldab meil saada sarnase kordusseose kaalumaatriksi jaoks Tõepoolest, kasutades väiksust punktist (7.5.23), saame

Noodi sisseviimisega

(7.5.24) ja (7.5.25) põhjal saame vektori ja kaalumaatriksi korduvate seoste süsteemi

See süsteem koos algväärtustega määrab täielikult hinnangu väärtuse igal etapil, nõudes, et igaüks neist arvutaks praeguse vaadeldava väärtuse tingimusliku tõenäosustiheduse logaritmi teise tuletise gradiendi ja maatriksi. Algväärtused valitakse, võttes arvesse olemasolevaid a priori andmeid võimalike väärtuste ja parameetrite muutumise vahemiku kohta ning nende andmete puudumisel võetakse need nulliks (,).

Sõltumatute väärtuste puhul kirjeldab kordusseoste süsteem (7.5.27) ilmselgelt mitmemõõtmelist (dimensions ) Markovi juhuslikku protsessi, mille komponent koondub parameetri tegelikule väärtusele ja komponent Fisheri infomaatriksile (7.3. 8), kus on hinnangulise parameetri tegelik väärtus ja suureneb määramatult kui P. Süsteemil (7.5.27) on sarnased konvergentsi omadused üldisemates tingimustes, kui jada on ergoodiline.

Teine mainitud meetoditest põhineb tõenäosusfunktsiooni logaritmi teise tuletise maatriksi asendamisel selle matemaatilise ootusega - Fisheri teabemaatriksiga, mille (7.5.16) arvesse võttes saab kirjutada järgmiselt:

kus sarnaselt (7.5.26)

Asendades maatriksi punktis (7.5.24) maatriksiga , saame korduva seose

Sakrisoni pakutud maksimaalse tõenäosuse hinnangute ligikaudseks arvutamiseks (originaalis sõltumatute identselt jaotatud , millal ja . See kordusseos on lihtsam kui süsteem (7.5.27), kuna optimaalne kaalumaatriks on asendatud selle matemaatilisega ootus ja selle leidmiseks ei ole vaja olemasolevaid vaatlusandmeid, välja arvatud need, mis on koondunud hinnangu väärtusesse. Samas on ilmne, et selline asendus tähendab vajadust täita lisanõue võrreldes (7.5. 27) et teise tuletise maatriks oleks lähedane oma matemaatilisele ootusele.

Kui tõenäosustiheduse jaotus ja maatriks muutuvad sammuti, võib iga sammu otsene leidmine nõuda liiga palju arvutusi. Samal ajal võib tulemuste täpsuse täiendava vähenemise tõttu, mis on määratud väikeste erinevuste nulliga, jätkata maatriksi ligikaudse väärtuse korduvat arvutamist. Naastes selle ligikaudse väärtuse eelmise tähise juurde, saame teise kordussuhete süsteemi

Maatriksi matemaatiline ootus (Fisheri teabemaatriks ühe vaatluse jaoks), võetud punktis . See süsteem erineb süsteemist (7.5.27) selle poolest, et teine ​​kordusseostest (7.5.31) ei hõlma otseselt vaatlusandmeid.

Kõik ülaltoodud kordusseoste süsteemid on täiesti täpsed, kui funktsioon sõltub ruutkeskmiselt ja lisaks ei sõltu ka teise tuletise maatriks. Tegelikult vastab see sõltumatute normaalselt jaotatud (mitte tingimata võrdselt) väärtustele tundmatu matemaatilise ootusega, mis on hinnanguline parameeter.

Kordusseoste süsteem (7.5.24) annab maksimaalse tõenäosuse võrrandi täpse lahendi palju laiemates tingimustes ainsa nõudega, et funktsioon sõltub ruutkeskmiselt . Sel juhul on sõltuvus suvaline, mis vastab laiale populatsiooni tõenäosusjaotuse klassile nii sõltumatute kui ka sõltuvate väärtustega.

Lisaks vaadeldavatele üldistele meetoditele on mitmeid meetodeid kaalukoefitsientide maatriksi valimiseks kordusseos (7.5.24), mis on kohandatud teatud spetsiifilistele piirangutele. Lihtsaim neist on valik diagonaalmaatriksi kujul, nii et , ( I on identiteedimaatriks), kus on arvuliste koefitsientide kahanev jada, mis on valitud sõltumata tõenäosusfunktsiooni omadustest samamoodi nagu Robinsi-Monroe stohhastilise lähenduse protseduuris, millest tuleb juttu järgmistes peatükkides.

Tuleb märkida, et kõik iteratiivsed või korduvad protseduurid maksimaalse tõenäosuse hinnangute leidmiseks on üldiselt ligikaudsed. Seetõttu tuleb nende protseduuride rakendamise tulemusena saadud hinnangute puhul üldiselt uuesti tõestada järjepidevust, asümptootilist efektiivsust ja asümptootilist normaalsust. Iteratiivsete protseduuride puhul on hinnangute vajalikud omadused tagatud sellega, et põhimõtteliselt annavad sellised protseduurid sobiva iteratsioonide arvuga lahenduse tõenäosusvõrrandile mis tahes etteantud täpsusega. Korduvate protseduuride jaoks, nagu (7.5.27), (7.5.30), (7.5.31) ja teised, on olemas spetsiaalsed tõendid. Samal ajal kehtestatakse lisaks regulaarsuse nõudele ka mõned lisanõuded:

Funktsiooni (7.2.2) käitumise kohta || erinevate väärtuste korral, et saavutada korduva protseduuri abil selle funktsiooni globaalne maksimum punktis, mis vastab parameetri tegelikule väärtusele;

Tõenäosusfunktsiooni logaritmi tuletiste teise hetke kasvu järjekorras suurte moodulväärtuste korral. Need nõuded tulenevad üldisematest tingimustest Markovi juhusliku protsessi komponentide või nende osade konvergentsi punktini, milleni üks või teine ​​korduv protseduur viib.

Kokkuvõtteks märgime ka, et juhul, kui maksimaalse tõenäosuse võrrandil on täpne lahend, saab selle peaaegu alati esitada rekursiivsel kujul. Toome kaks lihtsat heterogeenset näidet. Seega elementaarne hinnang agregaadi normaalse juhusliku muutuja tundmatu matemaatilise ootuse kohta n selle valimi väärtused aritmeetilise keskmise kujul

on maksimaalse tõenäosuse hinnang ja seda saab esitada rekursiivsel kujul:

mille jaoks on kõige lihtsam erijuhtum (7.5.30).

Teine näide on ebaregulaarne maksimaalse tõenäosuse hinnang parameetrile - ristkülikukujulise jaotuse laius - alates (7.4.2), mille saab määrata ka kordusseosega

esialgse seisukorraga. See kordusseos on teist tüüpi: selle paremat poolt ei saa esitada eelmise hinnangu ja väikese paranduse summana, mis on selle näite ebakorrapärasuse tagajärg; sellel on aga kõik rekursiivse lähenemisviisi eelised: eelmisest etapist tuleb meeles pidada ainult ühte numbrit - hinnangut - ja see vähendab kõigi väärtuste võrdlemise asemel loendamist drastiliselt üheks võrdluseks.

Toodud näited illustreerivad rekursiivsete meetodite eeliseid ka juhul, kui maksimaalse tõenäosuse võrrand võimaldab täpset lahendust, kuna tulemuse analüütilise esituse lihtsus ei ole identne selle saamise arvutusliku lihtsusega.

7.5.3. Üleminek pidevale ajale. Diferentsiaalvõrrandid maksimaalse tõenäosuse hinnangute jaoks

Vaatleme nüüd erijuhtumit, kus olemasolevad vaatlusandmed X neid ei kirjeldata näidispunktide komplektiga , vaid kujutavad endast osa mõne protsessi rakendamisest , olenevalt parameetritest , antud intervalli järgi , pealegi võib selle intervalli pikkus vaatluse käigus pikeneda (aeg t on muutuv).

Vaatlusandmete statistiliseks kirjeldamiseks võetakse sel juhul kasutusele tõenäosussuhte funktsionaal, mis on suvaliselt antud väärtuse ja sarnase väärtuste kogumi tõenäosusjaotuse tiheduse suhte piir , max. tõenäosustihedus teatud fikseeritud väärtusel ja mõnel juhul, kui see võimaldab esitust, kus on juhuslik protsess, mis ei sõltu väärtuste kogumi tõenäosustihedusest, eeldusel, et . Tõenäosussuhte funktsionaalsuse kasutamine võimaldab kõrvaldada formaalsed raskused tõenäosustiheduse määramisel, mis tekivad üleminekul pidevale ajale.

Tõenäosussuhte funktsionaalse logaritmi võib esitada kui

kus on mingi intervallil funktsionaalne protsess . Mõnel juhul taandub funktsioon funktsiooniks, mis sõltub ainult väärtusest. Nii et kui

kus on teadaolev aja ja parameetrite funktsioon ning on delta-korrelatsiooniga juhuslik protsess ("valge" müra) spektraaltihedusega N o , valides nimetajaks tõenäosusjaotuse tõenäosussuhe X kell , meil on

Olgu - parameetri maksimaalse tõenäosuse hinnang, mis põhineb protsessi rakendamisel intervallil, st maksimaalse tõenäosuse võrrandi lahendus

Eristades selle võrrandi vasakpoolset külge aja suhtes, saame

Tutvustame noodikirja

ja lahendades võrrandi (7.5.42) suhtes, saame maksimaalse tõenäosuse hinnangu diferentsiaalvõrrandi

Maatriks omakorda vastavalt (7.5.37) määratakse diferentsiaalvõrrandiga

Nii nagu diskreetsel juhul, saab maatriksi punktides (7.5.45), (7.5.47) asendada selle matemaatilise ootusega - Fisheri teabemaatriksi väärtusega ja diferentsiaalvõrrandiga (7.5.46) kaalumaatriksi jaoks - võrrandi järgi

kus sarnaselt diskreetse juhtumiga

Teise tuletise maatriksi matemaatiline ootus.

Diferentsiaalvõrrandite kogum (7.5.45), (7.5.46) või (7.5.45), (7.5.48) koos algtingimustega, mille valikul jääb kõik diskreetse juhtumi kohta öeldu kehtima, täielikult määrab maksimaalse tõenäosuse hinnangu mis tahes ajahetkel. Seda komplekti saab simuleerida sobivate, üldiselt öeldes, mittelineaarsete analoogseadmete abil või sobiva ajaproovi võtmisega lahendada arvutiga. Kokkuvõtteks märgime ära ühe nende võrrandite modifikatsiooni, mis võimaldab vältida maatriksi inverteerimise vajadust.

Tutvustame noodikirja

, Kus I

ja vahekorra eristamine aja suhtes , Kus I on identiteedimaatriks, saame (7.5.46) abil diferentsiaalvõrrandi, mis määrab maatriksi otse:

(ja samamoodi, kui asendada ), mis koos võrrandiga (7.5.45)

määrab skoori , ilma maatriksi inversiooni nõudmata. Sel juhul toimub Riccati tüüpi diferentsiaalvõrrandi (7.5.51) suhtes üleminek lihtsaimalt lineaarselt diferentsiaalvõrrandilt (7.5.46) mittelineaarsele.

Üldine lahendus korduv seos (1) on kõigi seda seost rahuldavate jadade hulk.

Eraldi otsus seos (1) nimetatakse ühte seda seost rahuldavatest jadadest.

Näide 1¢. Järjekord a n=a 0 +nd a n=a n - 1 +d. See on erinevusega aritmeetilise progressiooni ühise liikme valem d ja progresseerumise algliikmega a 0 .

Näide 2¢. Järjekord b n=b 0 × q n on seose üldlahendus b n=b n - 1 ×q. See on nimetajaga geomeetrilise progressiooni ühise liikme valem q¹0 ja progressiooni algliikmega b 0 .

Näide 3¢. nn Bineti valem j n= on seose j erilahend n=j n-2+j n- 1, kui j 0 =j 1 =1.

Alates lihtsatest juurtest x 1 ,…,x k paarikaupa erinev, siis D¹0. Seega on süsteemil (5) (ainulaadne) lahendus.

Ülesanne 1. Leidke valemi (4) abil geomeetrilise progressiooni ühine liige.

Lahendus b n=qb n- 1 näeb välja nagu . Sellepärast .

2. ülesanne. Leidke Fibonacci suhte üldlahend a n + 2 =a n+a n + 1 .

Lahendus. Kordusseose iseloomulik polünoom a n + 2 =a n+a n+1 on vorm . Sellepärast .

Toome ilma tõestuseta teoreemi 1 järgmise üldistuse.

2. teoreem. Olgu homogeense lineaarse kordumise seose (3) iseloomulik polünoomil k juured: a 1 kordused , …, a k kordused , , . Siis on kordusseose (3) üldlahend järgmisel kujul:

3. ülesanne. Leia seose üldlahendus .

Lahendus. Iseloomulikul polünoomil on 3 kordsuse juur 2. Seetõttu .

Kommenteeri. Ebahomogeense lineaarseose (2) üldlahenduse võib leida homogeense lineaarseose (3) üldlahenduse ja mittehomogeense lineaarseose (2) partiilahendi summana.

4. Funktsioonide genereerimine. Ametlik seeria a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a k x k+… helistas jada genereerimisfunktsioon a 0 ,a 1 ,a 2 ,…,a k,…

Genereeriv funktsioon on kas koonduv või lahknev jada. Kaks lahknevat seeriat võivad funktsioonidena olla võrdsed, kuid need võivad olla erinevate järjestuste genereeritud funktsioonid. Näiteks read 1+2 x+2 2 x 2 +…+2k x k+… ja 1+3 x+3 2 x 2 +…+3k x k+… defineerige sama funktsioon (punktis võrdne 1-ga x=1, punktides määramata x>1), kuid genereerivad erinevate järjestuste funktsioone.

Jadade genereerimisfunktsioonide omadused:

jadade genereerimisfunktsioonide summa (erinevus). a n Ja b n on võrdne jadade summa (erinevuse) genereeriva funktsiooniga a n+b n;

jadade funktsioonide genereerimise tulemus a n Ja b n on järjestuse konvolutsiooni genereeriv funktsioon a n Ja b n:

c n=a 0 b n+a 1 b n - 1 +…+a n - 1 b 1 +a n b 0 .

Näide 1 Funktsioon genereerib jada jaoks

Näide 2 Funktsioon genereerib jada 1, 1, 1, ...

ärakiri

1 VENEMAA Föderatsiooni HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Kostroma Riiklik Ülikool N. A. Nekrasovi nimeline T. N. Matytsina DISKREETSEMATEMAATIKA KORDUVATE SUHETE LAHENDUS Töötuba Kostroma 2010

2 BBK ya73-5 M348 Avaldatud KSU toimetuse ja kirjastusnõukogu otsusega N. A. Nekrasova Retsensent A. V. Tšerednikova, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat, dotsent M348 Matytsina T. N. Diskreetne matemaatika. Korduvate suhete lahendus: töötuba [Tekst] / T. N. Matytsina. Kostroma: KSU im. N. A. Nekrasova, lk. Töötuba sisaldab õpilastele individuaalseid ülesandeid ja on mõeldud iseseisvaks tööks kursuse "Diskreetne matemaatika" esimese osa omandamisel. Füüsika-matemaatikateaduskonna 2 3 kursuse üliõpilastele, kes õpivad erialadel „Matemaatika“ lisaerialaga „Arvutiteadus“, „Informaatika“ lisaerialaga „Matemaatika“. BBK ya73-5 T. N. Matytsina, 2010 KSU im. N. A. Nekrasova,

3 SISUKORD Sissejuhatus Juhised lineaarsete kordusseoste lahendamiseks Korduvate (korduvate) järjestuste põhimõisted ja definitsioonid Algoritmid LORS-i ja LRS-i lahendamiseks Näiteid LORS-i ja LRS-i lahendamisest Ülesanded for sõltumatu lahendusÜlesanded LORS ja LRS lahendamiseks Vastused Kokkuvõte Bibliograafiline loetelu

4 SISSEJUHATUS Kursuse "Diskreetne matemaatika" esimene osa, mida õppisid füüsika-matemaatikateaduskonna 2 3 kursuse üliõpilased, kes õpivad erialadel "Informaatika" lisaerialaga "Matemaatika" (IV semester) ja "Matemaatika" lisaerialaga "Arvutiteadus" (V semester) , hõlmab korduvate seoste lahendamist. See väljaanne sisaldab ülesandeid homogeensete ja mittehomogeensete lineaarsete kordussuhete arvutamiseks. Praktilise töö kirjutamise põhjuseks oli asjaolu, et õpilastel puuduvad sellel kursusel praktiliselt puuduvad oskused ülesannete lahendamiseks. Üks põhjus on juurdepääsetava õpiku või probleemraamatu puudumine. Kavandatud töötoa ülesanded aitavad igal õpilasel (individuaalselt) tegeleda probleemide lahendamise põhimeetodite ja tehnikatega. Materjali omandamise hõlbustamiseks käsitletakse juhendi alguses kõiki iseseisvaks lahendamiseks pakutud ülesandeid. Lõpus on soovitatavate lugemiste loend, mis aitab teil seda teemat põhjalikult uurida. Teema "Korduvusseosed" on koolikursusele lähedane (aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid, naturaalarvude ruutude ja kuubikute jada jne), mistõttu ei nõua see õpilastelt eelnevalt mingeid muid erialasid. Korduvate seoste (tagasijärjestuste) teooria põhialused töötati välja ja avaldati 1920. aastatel. 18. sajand Prantsuse matemaatik A. Moivre ja üks esimesi Peterburi Teaduste Akadeemia liikmeid, Šveitsi matemaatik D. Bernoulli. Üksikasjaliku teooria esitas 18. sajandi suurim matemaatik. 4

5 Peterburi akadeemik L. Euler. Hilisematest töödest tuleks esile tõsta korduvate jadade teooria esitlust lõplike erinevuste arvutamise kursustel, mida lugesid kuulsad vene matemaatikud, akadeemikud P. L. Tšebõšev ja A. A. Markov. Kordusseosed (ladinakeelsest sõnast recurrere to return) mängivad diskreetses matemaatikas suurt rolli, olles sisuliselt teatud mõttes diferentsiaalvõrrandite diskreetne analoog. Lisaks võimaldavad need taandada antud probleemi parameetritelt 1 parameetriga ülesandeks, seejärel 2 parameetriga ülesandeks jne. Parameetrite arvu järjestikuse vähendamisega jõuate probleemini, mida on juba lihtne lahendada. Korduva seose (tagastusjada) mõiste on aritmeetilise või geomeetrilise progressiooni mõiste lai üldistus. Erijuhtudel hõlmab see ka naturaalarvude ruutude või kuubikute jadasid, ratsionaalarvu kümnendlaienduse numbrijadasid (ja üldiselt kõiki perioodilisi jadasid), kahe polünoomi jagatisi, mis on järjestatud x suurenevates astmetes jne. 5

6 1. METOODILISED SOOVITUSED LINEAARSETE KORDUVATE SUHETE LAHENDAMISEKS 1.1. Korduvate (korduvate) jadade põhimõisted ja määratlused Kirjutame jadad kujul a 1, a 2, a 3, a, (1) või lühidalt (a ). Kui on olemas naturaalarv k ja arvud α 1, α 2, α k (tegelikud või kujuteldavad), nii et mõnest arvust ja kõigi järgnevate arvude puhul on a +k = α 1 a +k 1 + α 2 a + k α k a, (k 1), (2) siis jada (1) nimetatakse korduvaks (korduvaks) jadaks järku k ja seost (2) nimetatakse korduvaks (korduvaks) võrrandiks järku k. Seega iseloomustab korduvat jada asjaolu, et selle iga liiget (alates mõnest) väljendatakse valemi (2) järgi sama arvu k vahetult eelnevate liikmete kaudu. Juba nimetust "korduv" (ja ka korduv) kasutatakse just seetõttu, et siin pöördutakse järgneva termini arvutamiseks tagasi eelmiste terminite juurde. Toome mõned näited korduvatest jadadest. Näide 1. Geomeetriline progressioon. Olgu meil geomeetriline progressioon: a 1 = α, a 2 = α q, a 3 = α q 2, a = α q 1, ; (3) selle jaoks on võrrand (2) järgmine: a +1 = q a. (4) 6

7 Siin k = 1 ja α 1 = q. Seega on geomeetriline progressioon esimest järku korduv jada. Näide 2. Aritmeetiline progressioon. Aritmeetilise progressiooni a 1 = α, a 2 = α + d, a 3 = α + 2d, a = α + (1)d korral on meil +1 = a + d seos, millel puudub võrrandi (2) vorm. Kui aga arvestada kahe kõrvutise väärtuse jaoks kirjutatud kahte suhet: a +2 = a +1 + d ja a +1 = a + d, siis saame nendest terminite kaupa lahutamise teel a +2 a +1 = a +1 a või a +2 = 2a +1 a võrrand kujul (2). Siin k = 2, α 1 = 2, α 2 = 1. Seetõttu on aritmeetiline progressioon teist järku korduv jada. Näide 3 Vaatleme vana Fibonacci 1 probleemi küülikute arvu kohta. Vajalik on määrata ühest paarist aasta jooksul moodustunud küpsete küülikute paaride arv, kui on teada, et iga täiskasvanud küülikupaar sünnitab iga kuu uue paari ning vastsündinud saavad täisküpseks kuu jooksul. Selle ülesande juures pole huvitav mitte tulemus, mida pole sugugi raske saada, vaid järjestus, mille liikmed väljendavad küpsete küülikute paaride koguarvu alghetkel (a 1) kuu pärast (a 2), kahe kuu pärast (a 3) ja üldiselt kuude pärast (a+1). Ilmselgelt a 1 = 1. Kuu aja pärast lisandub paar vastsündinuid, kuid küpsete paaride arv jääb samaks: a 2 = 1. Kahe kuu pärast jõuavad küülikud täiskasvanuks ja küpsete koguarv paarid on võrdsed kahega: a 3 = 2. Arvutagem juba kogus 1 Fibonacci ehk Leonardo Pisa, Itaalia keskaegne matemaatik (umbes 1200), jättis maha raamatu "Abacus", mis sisaldab ulatuslikku laenatud aritmeetilist ja algebralist teavet Kesk-Aasia ja Bütsantsi rahvastelt ning tema loominguliselt töödeldud ja arendatud. 7

8 küpset paari 1 kuu pärast ja kuude pärast +1. Kuna selleks ajaks annavad varem saadaval olnud küpsed paarid rohkem järglasi, siis + 1 kuu pärast on küpsete paaride koguarv: a +2 = a +1 + a. (6) Seega a 4 = a 3 + a 2 = 3, a 5 = a 4 + a 3 = 5, a 6 = a 5 + a 4 = 8, a 7 = a 6 + a 5 = 13,. Nii oleme saanud jada a 1 = 1, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3, a 5 = 5, a 6 = 8, a 7 = 13, a 13 = 233, (7) mille iga järgnev liige on võrdne kahe eelneva summaga. Seda jada nimetatakse Fibonacci jadaks ja selle liikmeid Fibonacci arvudeks. Võrrand (6) näitab, et Fibonacci jada on teist järku korduv jada. Näide 4. Järgmise näitena vaatleme naturaalarvude ruutude jada: a 1 = 1 2, a 2 = 2 2, a 3 = 3 2, a = 2,. (8) Siin a +1 = (+ 1) 2 = ja seega a +1 = a (9) Ühe võrra suurendades saame: a +2 = a (10) Ja seega (lahutades liikme kaupa ( 9) alates (10)), a +2 a +1 = a +1 a + 2 või a +2 = 2a +1 a + 2. (11) Võrdsust (11) ühe võrra suurendades saame: a +3 = 2a+2a; (12) kust (lahutades punktist (12) termini kaupa (11)) a +3 a +2 = 2a +2 3a +1 + a, 8

9 või a +3 = 3a +2 3a +1 + a. (13) Saime kolmandat järku rekursiivse võrrandi. Järelikult on jada (8) kolmandat järku korduv jada. Näide 5. Vaatleme naturaalarvude kuubikute jada: a 1 = 1 3, a 2 = 2 3, a 3 = 3 3, a = 3,. (14) Samamoodi nagu näites 4, saame kontrollida, et naturaalarvude kuubikute jada on neljandat järku korduv jada. Selle liikmed rahuldavad võrrandit a +4 = 4a +3 6a a +1 a. (15) Lihtsaimate korduvate jadade puhul, nagu aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid, naturaalarvude ruutude või kuubikute jadad, võime leida jada mis tahes liikme ilma eelnevate liikmete arvutamiseta. Fibonacci arvujada puhul pole meil esmapilgul selleks võimalust ja kolmeteistkümnenda Fibonacci arvu a 13 arvutamiseks leiame kõigepealt ükshaaval kõik eelnevad liikmed (kasutades võrrand a +2 = a +1 + a ( 6)): a 1 = 1, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3, a 5 = 5, a 6 = 8, a 7 = 13 , a 8 = 21, a 9 = 34, a 10 \u003d 55, a 11 \u003d 89, a 12 \u003d 144, a 13 \u003d 233. Ühenduse liikmete struktuuri üksikasjaliku uurimise käigus korduv jada, võib saada valemeid, mis võimaldavad kõige üldisemal juhul arvutada korduva jada mis tahes liiget, ilma eelnevate liikmete arvutamiseta. Teisisõnu, järgmiseks ülesandeks on leida jada th liikme valem, sõltuvalt ainult arvust. 9

10 Üldjuhul saab kordusseost kirjutada kujul a +k = F(, a +k 1, a +k 2, a), kus F on k + 1 muutuja funktsioon ja arvu k nimetatakse suhte järjekord. Kordusseose lahendiks on arvjada b 1, b 2, b 3, b, mille puhul kehtib võrdus: b + k = F(, b + k 1, b + k 2, b) mis tahes = 0 korral , 1, 2, . Üldiselt on suvalisel kordusrelatsioonil lõpmatult palju lahendusi. Näiteks kui arvestada teist järku korduvat seost a +2 = a +1 + a, siis lisaks Fibonacci jadale: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., mida iseloomustab asjaolu, et siin a 1 = a 2 = 1 rahuldab lõpmatu arvu teisi jadasid, mis on saadud erineva väärtuste valikuga a 1 ja a 2. Nii näiteks 1 = 3 korral ja a 2 = 1 saame jada: 3, 1, 2 , 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,. Kordusseose lahendi üheseks määramiseks on vaja seada algtingimused (algustingimusi peab olema täpselt nii palju kui kordusseose järjekord). Kordusseose lahendamine tähendab jada th liikme valemi leidmist. Kahjuks ei eksisteeri üldine meetod suvaliste korduvate suhete lahendused. Erandiks on konstantsete koefitsientidega nn lineaarsete korduvate seoste klass. Rekursiivset seost kujul a +k = α 1 a +k 1 + α 2 a +k α k a, kus a i on mõned arvud, i = 1, 2, k, nimetatakse lineaarseks homogeenseks kordusrelatsiooniks (LORS) konstantsed järgu koefitsiendid k. 10

11 Rekursiivne seos kujul a +k = α 1 a +k 1 + α 2 a +k α k a + f(), kus a i on mõned arvud, i = 1, 2, k, f() 0 on a funktsiooni, nimetatakse lineaarseks korduvaks suhteks (LRS) konstantsete koefitsientidega järku k. Algoritmid LORS-i lahendamiseks ja LRS-i algoritmid LORS-i lahendamiseks. Meil on LORS: a +k = α 1 a +k 1 + α 2 a +k α k a. 1 samm. Iga järgu k LORS vastab k astme algebralisele võrrandile samade koefitsientidega ja seda nimetatakse LORSi karakteristikuks. Koostame karakteristiku võrrandi x k = α 1 x k 1 + α 2 x k α k x 0 ja leiame selle juured x i, kus i = 1, k. 2 sammu. Kui x i on paljususe 1 juured (st nad kõik erinevad üksteisest), siis on LORS-i üldlahend järgmisel kujul: a = c 1 (x 1) + c 2 (x 2) + c 3 (x) 3) + + c k (x k ) = c i x i Kui x i on paljususe r i juured, siis LORS-i üldlahend on kujul 2) x). i x i k i= 1 3 samm. Koefitsiendid c i leitakse lähtetingimusi kasutades. üksteist

12 LRS-i lahendamise algoritm. Meil on LRS: a +k = α 1 a +k 1 + α 2 a +k α k a + f(). Funktsiooni f() saab esitada kui R m () λ, kus R m () on muutuja m-astme polünoom. Tõepoolest, näiteks: f() = 10 3= (10 3)1 = R 1 () 1 või f() = = (2 + 3) 3 = R 2 () 3. Kirjutame LRS ümber kujul a + k α 1 a +k 1 α 2 a +k 2 α k a = R m () λ. 1 samm. Kirjutame välja vastavad LORS-id: a +k α 1 a +k 1 α 2 a +k 2 α k a = 0 ja leiame selle üldlahenduse. Selleks koostame karakteristiku võrrandi x k α 1 x k 1 α 2 x k 2 α k x 0 = 0 ja leiame selle juured x i, kus i = 1, k. Olgu näiteks x i erinevad juured, siis vastava LORSi üldlahend on kujul: a = c 1 (x 1) + c 2 (x 2) + c 3 (x 3) + + c k (x k). 2 sammu. Leiame LRS-i konkreetse lahendi: a) kui λ ei ole karakteristikavõrrandi x k α 1 x k 1 α 2 x k 2 α k = 0 juur, siis a = Q m () λ, kus Q m () on m-astme polünoom muutujas; b) kui λ on kordsuse r karakteristikavõrrandi x k α 1 x k 1 α 2 x k 2 α k = 0 juur, siis a = r Q m () λ, kus Q m () on polünoom astmega m muutuja. Järgmisena asendame a algse LRS-iga ja leiame polünoomi Q m () koefitsiendid. 12

13 3 samm. Leiame LRS-i üldlahendi, see on vastava LORS a üldlahendi ja LRS a erilahendi summa, st a = a + a. Algtingimuste abil leitakse koefitsiendid c i Näiteid LORS ja LRS lahendamisest Kasutades ülaltoodud algoritmi LORS ja LRS lahenduste leidmiseks, analüüsime mitmeid probleeme. Ülesanne 1. Leia lahendus teist järku lineaarsele homogeensele korduvale seosele: a +2 = 6 a +1 8 a, a 0 = 3, a 1 = Koostage tunnusvõrrand x 2 = 6 x 8 x 0 ja leidke selle juured. x 2 6x + 8 = 0; x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 4 juured on erinevad, seetõttu on nende paljusus Leiame LORSi üldlahenduse: a \u003d c 1 (x 1) + c 2 (x 2) \u003d c c Kuna algtingimused on antud, siis määratakse koefitsiendid c 1 ja c 2 üheselt. a 0 \u003d c c \u003d c 1 + c 2 = 3; a 1 = c c = 2c 1 + 4c 2 = 4. Saime süsteemi: c1 + c2 = 3, 2c1 + 4c2 = 4. Selle lahendamisel leiame koefitsiendid: c 1 = 8, c 2 = 5. Seega, LORS-i lahendil on vorm a = Ülesanne 2. Leia lahendus lineaarsele homogeensele kordusseosele: 13

14 a +2 \u003d 6 a +1 9 a, a 0 \u003d 5, a 1 \u003d Koostage iseloomulik võrrand x 2 \u003d 6x 9 ja leidke selle juured. x 2 6x + 9 = 0; (x 3) 2 = 0; x 1 \u003d x 2 \u003d 3 kaks juurt, samas kui x 1 ja x 2 langesid kokku, seetõttu on juure kordsus Leiame LORSi üldlahenduse: a \u003d (c 1 + c 2) (x 1) \u003d (c 1 + c 2) Algtingimusi kasutades määrame koefitsiendid c 1 ja c 2: a 0 = (c 1 + c 2 0) 3 0 = c 1 = 5; a 1 = (c 1 + c 2 1) 3 1 = (c 1 + c 2) 3 = 6. Saime süsteemi c1 = 5, c1 + c2 = 2. Selle lahendamisel leiame koefitsiendid c 1 = 5 , c 2 = 3. Seega on LORS-i lahend kujul: a = (5 3) 3. Märkus. Teadupärast võivad ruutvõrrandi juurteks olla ratsionaal-, irratsionaal-, kompleksarvud jne. Sarnaselt lahendatakse ka selliste juurtega lineaarsete kordusseoste lahendamise meetod. Ülesanne 3. Leidke lahendus kolmandat järku lineaarsele homogeensele kordusseosele: a +3 = 3 a a +1 8 a, a 0 = 9, a 1 = 9, a 2 = Koostage karakteristlik võrrand x 3 = 3 x x 8 ja leida selle juured. x 3 3 x 2 6 x + 8 = 0; (x 1) (x + 2) (x 4) = 0; x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4 juured on erinevad, seega on nende kordsus võrdne c c 2 (2) + c

15 3. Lähtetingimusi kasutades leiame koefitsiendid c 1, c 2 ja c 3. a 0 = c c 2 (2) 0 + c = c 1 + c 2 + c 3 = 9; a 1 = c c 2 (2) 1 + c = c 1 2 c 2 + 4 c 3 = 9; a 2 = c c 2 (2) 2 + c = c 1 + 4c c 3 = 9. c1 + c2 + ñ3 = 9 3 = 2. Seega c1 + 4c2 + 16c3 = 9, seega on LORS-i lahend kujul : a = (2) 2 4. Ülesanne 4. Leidke lahendus kolmandat järku lineaarsele homogeensele kordusseosele: a 0 \u003d 6, a 1 \u003d 15, a 2 \u003d Koostage tunnusvõrrand x 3 \u003d x 2 + 5x 3 ja leidke selle juured. x 3 + x 2 5x + 3 = 0; (x 1) 2 (x + 3) = 0; x 1 \u003d x 2 \u003d 1 kordsuse 2 juur; x 3 = 3 kordsusjuur 3. Lähtetingimusi kasutades leiame koefitsiendid c 1, c 2 ja c 3. a 0 = (c 1 + c 2 0) c 3 (3) 0 = c 1 + c 3 = 6; a 1 = (c 1 + c 2 1) c 3 (3) 1 = c 1 + c 2 3 c 3 = 15; a 2 = (c 1 + c 2 2) c 3 (3) 2 = c 1 + 2c 2 + 9c 3 = 8. c1 + ñ3 = 6, Lahendades süsteemi c1 + c2 3c3 = 15, saame c 1 = 8, c 2 = 1 ja c 3 = 2. Seega c1 + 2c2 + 9c3 = 8, seega on LORS-i lahend järgmine: a = (8 +) 1 2 (3). 15

16 Ülesanne 5. Leia teist järku lineaarse kordumise seose lahendus: Kirjutame LRS ümber kujul a +2 = 18 a a + 128, a 0 = 5, a 1 = 2. a a a = () 1. Kirjutame välja vastav LRS: a a a = 0. iseloomustav võrrand ja leida selle juured. x 2 18x + 81 = 0; (x 9) 2 = 0; x 1 \u003d x 2 \u003d 9, iseloomuliku võrrandi juured langevad kokku, seetõttu on nende kordsus 2. Siis on üldlahend a \u003d (c 1 + c 2) (x 1) \u003d (c 1 + c) 2) Leidke LRS-i konkreetne lahendus. Tingimusel f() = R m () λ = = = R 0 () λ, kus R 0 () = 128 on muutuja nullkraadine polünoom ja λ = 1 ei ole tunnusvõrrandi juur. vastavad LORSid. Seetõttu on a \u003d Q m () λ \u003d Q 0 () 1, kus Q 0 () on muutuja nullkraadine polünoom, üldine vaade Q 0 () = s. Seega a \u003d c 1. Järgmisena asendame a algse LRS-iga () ja leiame polünoomist Q 0 () koefitsiendi c: c c c 1 = ; alates 18s + 81s = 128; 64s = 128; c = 2. Seega saame a = c 1 = 2 1 = 2. 16

17 3. Leiame LRS-i üldlahendi, see on vastava LRS-i a üldlahendi ja LRS-i a erilahendi summa, st a = a + a = (c 1 + c 2) Jääb üle leida koefitsiendid c 1 ja c, kasutades algtingimusi 2. a 0 = (c 1 + c 2 0) = c = 5; a 1 = (c 1 + c 2 1) = 9c 1 + 9c = 2; Lahendades süsteemi c1 + 2 = 5, 9c1 + 9c2 + 2 = 2, saame c 1 = 3, c 2 = 3. Seega on LRS-i lahend kujul: a = (3 3) Ülesanne 6. Leia lahendus lineaarse kordumise seosele: a +2 = 10 a a , a 0 = 7, a 1 = 50. Kirjutame LRS ümber kujul a a a = Kirjutame välja vastava LRS: a a a = 0; kirjutada iseloomustav võrrand ja leida selle juured. x 2 10 x + 25 = 0; (x 5) 2 = 0; x 1 \u003d x 2 \u003d 5 on kordsuse 2 juur. Siis on LORS-i üldlahendus järgmine: a \u003d (c 1 + c 2) (x 1) \u003d (c 1 + c 2) Leidke LRS-i konkreetne lahendus. Tingimusel f() = R m () λ = 50 5 = R 0 () λ, kus R 0 () = 50 on muutuja nullkraadine polünoom ja λ = 5 langeb kokku kordsuse juurega x 1 2 vastava LORSi tunnusvõrrandist. Seetõttu a = r Q m () λ = = 2 Q 0 () 5, kus Q 0 () = nullkraadise polünoomiga muutujas. Seega a \u003d 2 koos 5-ga. Järgmisena asendame a algse LRS-iga ja leiame koefitsiendi c: 17

18 s (+ 2) s (+ 1) s 2 5 \u003d 50 5 (jaga 5 0-ga); 25 s (+ 2) 2 50 s (+ 1) s 2 = 50; s () 2s () + s2 = 2; c = 1. Seetõttu a = 2 c 5 = Kirjutame välja LRS-i üldlahenduse: a = a + a = (c 1 + c 2) c 2 0) = c 1 = 7; a 1 = (c 1 + c 2 1) = 5 c 1 + 5 c = 50; Lahendades süsteemi c1 = 7, c1 + c2 + 1 = 10, saame c 1 = 7, c 2 = 2. Seega on LRS-i lahendus järgmine: a = (7 + 2) = () 5. Ülesanne 7 Otsige lahenduse lineaarse kordumise seos: a +2 = 6 a +1 8 a, a 0 = 0, a 1 = 11. Kirjutage LRS ümber kujul a +2 6 a a = Kirjutage välja vastav LRS: a +2 6 a a = 0; kirjutada iseloomustav võrrand ja leida selle juured. x 2 6x + 8 = 0; x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 4 kordamisjuurt, mis võrdub 1-ga. Siis on LRS-i üldlahend kujul a \u003d c 1 (x 1) + c 2 (x 2) \u003d c c Leia konkreetne LRS-i lahendus. Tingimusel f() = R m () λ = = (3 + 2) 1 = R 1 () λ, kus R 1 () = muutuja esimese astme polünoom ja λ = 1 ei ole muutuja juur. vastava LORSi tunnusvõrrand. Seetõttu a = Q m () λ = Q 1 () 1, kus Q 1 () on esimese astme polünoom muutujas, üldiselt Q 1 () = = a + b. Seega a = (a + b) 1. 18

19 a ja b: Järgmiseks asendame a algsesse LRS-i ja leiame koefitsiendid (a (+ 2) + b) (a (+ 1) + b) (a + b) 1 = 3 + 2; 25 s (+ 2) 2 50 s (+ 1) s 2 = 3 + 2; 3a + (3b 4a) = Seega oleme saanud, et kaks polünoomi on võrdsed ja siis vastavad koefitsiendid on võrdsed: 3a = 3, a = 1, 3b 4a = 2 b = 2. Seega a = (a + b ) 1 = Kirjutame välja LRS-i üldlahenduse: a = a + a = c c (+ 2). Lähtetingimusi kasutades leiame koefitsiendid c 1 ja c 2: a 0 = c c (0 + 2) = 0; a 1 \u003d c c (1 + 2) \u003d 11; Lahendades süsteemi c1 + c2 = 2, 2c1 + 4c2 = 14, saame c 1 = 3, c 2 = 5. Seega on LRS-i lahendil kuju: a = Ülesanne 8. Leidke lineaarse kordumise seose lahend: a +2 = 5 a +1 6 a + (10 4) 2, a 0 = 5, a 1 = 12. Kirjutage LRS ümber kujul a +2 5 a a = (10 4) Kirjutage välja vastav LRS: a + 2 5 a a = 0; kirjutada iseloomustav võrrand ja leida selle juured. x 2 5x + 6 = 0; x 1 = 3, x 2 = 2 erineva kordsusega 1 juurt. Siis on LORS-i üldlahend: a = c 1 (x 1) + c 2 (x 2) = c c

20 2. Leidke LRS-i konkreetne lahendus. Tingimuse järgi on meil, et f() = = R m () λ = (10 4) 2 = R 1 () λ, kus R 1 () = (10 4) on muutuja esimese astme polünoom, ja λ = 2, siis langeb kokku vastava LORS-i karakteristiku võrrandi juurega. Seetõttu a = r Q m () λ = 1 Q 1 () 2, kus Q 1 () on esimese astme polünoom muutujas, üldiselt Q 1 () = a + b. Seega saame a = = (a + b) 2. Järgmiseks asendame algse seosega a ja leiame koefitsiendid a ja b. (+ 2) (a (+ 2) + b) (+ 1) (a (+ 1) + b) (a + b) 2 = = (10 4) 2. Jagage see võrrand arvuga 2 0: 4 (+ 2) (a (+ 2) + b) 10 (+ 1) (a (+ 1) + b) + 6 (a + b) = 10 4; 4a + (6a 2b) = Seega oleme saanud, et kaks polünoomi on võrdsed ja siis vastavad koefitsiendid on võrdsed: 4a = 4, a = 1, 6a 2b = 10 b = 2. Seega a = (a + b ) 2 = (2) Kirjutame välja LRS-i üldlahenduse ehk a = a + a = c c (2) 2. Lähtetingimusi kasutades leiame koefitsiendid c 1 ja c 2. a 0 = c c (0 2) 2 0 = 5; a 1 = c c (1 2) 2 1 = 12. Lahendades süsteemi c1 + c2 = 5, 3c1 + 2c2 = 14, saame c 1 = 4, c 2 = 1. Seega on LRS-i lahendus järgmine: a = (2) 2 = () 2. 20

21 Ülesanne 9. Leia lahendus lineaarse kordumise seosele: a +2 = 8 a a, a 0 = 1, a 1 = 7. Kirjutame LRS-i ümber kujul a +2 8 a a = () Kirjutame välja vastava LRS: a +2 8 a a = 0 ; kirjutada iseloomustav võrrand ja leida selle juured. x 2 8 x + 16 = 0; x 1 = x 2 = 4 juured langesid kokku, seega on juure kordsus 2. Siis on LORS-i üldlahend: a = (c 1 + c 2) (x 1) = (c 1 + c 2) ) Leidke LRS-i konkreetne lahendus. Tingimuse järgi f() = R m () λ = = () 1 = R 2 () λ, kus R 2 () = muutuja teise astme polünoom ja λ = 1 ei ühti muutuja juurega. vastava LORSi tunnusvõrrand. Seetõttu on a \u003d Q m () λ \u003d Q 2 () 1, kus Q 2 () on muutuja teise astme polünoom, üldiselt Q 2 () \u003d a 2 + b + c. Seega a = = (a 2 + b + c) 1. Järgmiseks asendame a algsesse suhtesse ja leiame koefitsiendid a, b ja c. (a (+ 2) 2 + b (+ 2) + c) (a (+ 1) 2 + b (+ 1) + c) (a b + c) 1 = () 1 ; a(+ 2) 2 + b(+ 2)+ c 8a(+ 1) 2 8b(+ 1) 8c + 16a b + 16c = = ; 9a 2 12a + 9b 4a 6b + 9c = Seega oleme saanud, et kaks polünoomi on võrdsed ja siis vastavad koefitsiendid on võrdsed: 9a = 9, 12a + 9b = 6, 4a 6b + 9c = 2 a = 1, b = 2, c = 2,21

22 Seetõttu a = (a 2 + b + c) 1 = Kirjutame välja LRS-i üldlahenduse, st a = a + a = (c 1 + c 2) (). Lähtetingimusi kasutades leiame koefitsiendid c 1 ja c 2. a 0 = (c 1 + c 2 0) () = 1; a 1 = (c 1 + c 2 1) () = 7. Lahendades süsteemi c1 + 2 = 1, 4c1 + 4c2 + 5 = 7, saame c 1 = 1, c 2 = 2. Seega LRS lahendus on kujul: a = (1 2)

23 2. ÜLESANDED ISESEISEMA LAHENDUSEKS 2.1. Ülesanded LORS ja LRS lahendamiseks Teist järku lineaarsed homogeensed kordusseosed 1. a +2 = 9 a a, a 0 = 2, a 1 = a +2 = 3,5 a +1 2,5 a, a 0 = 3,5 , a 1 = a +2 = 8 a a, a 0 = 4, a 1 = a +2 = 2 a a, a 0 = 3, a 1 = i. 5. a +2 = 10 a a, a 0 = 3, a 1 = a +2 = 6 a a, a 0 = 0, a 1 = 2i a +2 = 8 a a, a 0 = 2, a 1 = a + 2 = 4 a a, a 0 = 7, a 1 = a +2 = a +1 + a, a 0 = 2, a 1 = a +2 = 8 a a, a 0 = 8, a 1 = a +2 = () a a, a 0 = 7, a 1 = a +2 = 5 a +1 4 a, a 0 = 0, a 1 = a +2 = 2 a +1 5 a, a 0 = 5, a 1 = 6i a +2 = 3 a a, a 0 = 7, a 1 = a +2 = 6 a +1 9 a, a 0 = 8, a 1 = a +2 = 6 a a, a 0 = 3, a 1 = 92i. 17. a +2 = a a, a 0 = 4, a 1 = a +2 = 14 a a, a 0 = 5, a 1 = a +2 = 8 a a, a 0 = 2, a 1 = a +2 = 7 a a, a 0 = 5, a 1 = a +2 = 2 a +1 + a, a 0 = 2, a 1 =

24 1 22. a +2 = a +1 a, a 0 = 4, a 1 = a +2 = 4 a +1 a, a 0 = 12, a 1 = a +2 = a a, a 0 = 2, a 1 = a +2 = 2 a a, a 0 = 8, a 1 = a +2 = 6 a +1 9 a, a 0 = 12, a 1 = a +2 = 4 a +1 5 a, a 0 = 5, a 1 = 10 i a +2 = 3 a +1 a, a 0 = 8, a 1 = a +2 = 14 a a, a 0 = 5, a 1 = a +2 = 4 a a, a 0 = 2, a 1 = a +2 = 4 a +1 5 a, a 0 = 3, a 1 = 6 7i. 32. a +2 = a a, a 0 = 5, a 1 = a +2 = 16 a a, a 0 = 7, a 1 = a +2 = 5 a +1 6 a, a 0 = 2, a 1 = a +2 = 10 a a, a 0 = 2, a 1 = 10 4i a +2 = 6 a +1 5 a, a 0 = 11, a 1 = a +2 = 2 a a, a 0 = 11, a 1 = a +2 = 6 a a; a 0 = 3, a 1 = 0. Kolmandat järku lineaarsed homogeensed korduvad seosed 39. a +3 = 7 a a a, a 0 = 1, a 1 = 3, a 2 = a +3 = 4 a +2 a + 1 6 a, a 0 = 4, a 1 = 5, a 2 = a +3 = 6 a a a, a 0 = 5, a 1 = 8, a 2 = a +3 = 8 a a a, a 0 = 4, a 1 = 31, a 2 = a +3 = 5 a +2 3 a +1 9 a, a 0 = 1, a 1 = 3, a 2 = a +3 = 15 a a a, a 0 = 8, a 1 = 40, a 2 =

25 45. a +3 = 27 a a, a 0 = 6, a 1 = 3, a 2 = a +3 = 6 a a a, a 0 = 15, a 1 = 32, a 2 = a +3 = 15 a a a, a 0 = 1, a 1 = 20, a 2 = a +3 = 9 a a a, a 0 = 0, a 1 = 4, a 2 = a +3 = 2 a a +1 6 a, a 0 = 4, a 1 = 5, a 2 = a +3 = 4 a +2 5 a a, a 0 = 2, a 1 = 6, a 2 = a +3 = 6 a +2 5 a a, a 0 = 4, a 1 = 2, a 2 = a +3 = 3 a a a, a 0 = 2, a 1 = 17, a 2 = a +3 = 9 a a a, a 0 = 1, a 1 = 3, a 2 = a +3 = 6 a a +1 6 a, a 0 = 13, a 1 = 31, a 2 = a +3 = 5 a +2 3 a +1 9 a, a 0 = 3, a 1 = 14, a 2 = a +3 = a a +1 4 a, a 0 = 2, a 1 = 1, a 2 = a +3 = 3 a a a, a 0 = 2, a 1 = 3, a 2 = a +3 = 12 a a a, a 0 = 2, a 1 = 16, a 2 = a +3 = 4 a a a, a 0 = 0,2, a 1 = 6, a 2 = a +3 = 8 a a a, a 0 = 3, a 1 = 13, a 2 = a +3 = 4 a a a, a 0 = 3, a 1 = 29, a 2 = a +3 = 5 a +2 7 a a, a 0 = 11, a 1 = 34, a 2 = a +3 = 11 a a a a , a 0 = 27, a 1 = 17, a 2 = a +3 = 12 a a a, a 0 = 1, a 1 = 37, a 2 = a +3 = 3 a a a, a 0 = 11, a 1 = 23 , a 2 = a +3 = 7 a a a, a 0 = 3, a 1 = 6, a 2 = a +3 = 4 a a a, a 0 = 4, a 1 = 1, a 2 = 4.; 68. a +3 = 7 a a a, a 0 = 1, a 1 = 0, a 2 = a +3 = 5 a a a, a 0 = 6, a 1 = 0, a 2 = a +3 = 5 a +2 3 a a, a 0 = 10, a 1 = 1, a 2 = a +3 = 3 a +2 3 a +1 + a, a 0 = 2, a 1 = 4, a 2 = a +3 = 3 a a a a , a 0 = 6, a 1 = 5, a 2 =

26 73. a +3 = 10 a a a, a 0 = 0, a 1 = 1, a 2 = a +3 = 8 a a a, a 0 = 8, a 1 = 23, a 2 = a +3 = 5 a + 2 8 a +1 4 a, a 0 = 11, a 1 = 15, a 2 = a +3 = a a a, a 0 = 6, a 1 = 5, a 2 = a +3 = 10 a a a, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = a +3 = a a a, a 0 = 1, a 1 = 14, a 2 = a +3 = 2 a +2 + a a, a 0 = 10, a 1 = 1, a 2 = a +3 = 5 a +2 8 a a, a 0 = 9, a 1 = 9, a 2 = a +3 = 8i a a +1 10i a, a 0 = 8, a 1 = 14i, a 2 = 38. Esimest järku lineaarsed kordusseosed 82. a +1 = 4 a + 6, a 0 = a +1 = a + + 1, a 0 = a +1 = 5 a, a 0 = a +1 = 3 a + 5 2, a 0 = a +1 = 3 a + (4) 5 1, a 0 = a +1 = 4 a + 8 4, a 0 = a +1 = 3 a, a 0 = 14. Lineaarsed korduvad teist järku seosed 89 3, a 0 = 0, a 1 = a +2 = 7 a a , a 0 = 3, a 1 = a +2 = 9 a a + (18 20) 2, a 0 = 6, a 1 = a +2 = 8 a +1 7 a, a 0 = 9, a 1 = a +2 = 4 a +1 9 a, a 0 = 15, a 1 = 27 i a +2 = 12 a a, a 0 = 13, a 1 = 6,26

Blagoveštšenski Riikliku Pedagoogikaülikooli algebra, geomeetria ja MSM osakond 16. aprill 2011 1 Korduvate seoste lahendus Definitsioon Rekursiivne seos on seos

Loeng 3. Korduvate suhetega määratud järjestused. Homogeensed ja ebahomogeensed lineaarsed korduvad võrrandid (LORU ja LNRU). LORU ja LNRU ühised otsused. Lektor - dotsent Selezneva Svetlana

Loeng: Jadad. Homogeensed ja mittehomogeensed lineaarsed korduvad võrrandid. Lineaarsete korduvate homogeensete ja mittehomogeensete võrrandite üldlahendused. Lektor - dotsent Svetlana Nikolaevna Selezneva

Loeng. Loodusliku argumendi (jada) funktsioonid. Homogeensed ja ebahomogeensed lineaarsed korduvad võrrandid (LORU ja LNRU). LORU ja LNRU ühised otsused. Näited Lektor - dotsent Svetlana Selezneva

KORDUVÕRRANDITE LAHENDUS Tähistage mõne avaldise väärtusega, kui sellesse on asendatud täisarv Siis jadaliikme sõltuvus jada F F väärtustega liikmetest

Penza Riiklik Pedagoogikaülikool sai nime VG Belinsky O A Monakhova, N A Osminina Rekursiivsed jadad Formaalsete seeriate algebra Juhised erialade üliõpilastele

Loeng 3. Korduvate suhetega määratud järjestused. Homogeensed ja ebahomogeensed lineaarsed korduvad võrrandid (LORU ja LNRU). LORU ja LNRU ühised otsused. Näited Õppejõud – dotsent Selezneva

Haridus- ja Teadusministeerium Venemaa Föderatsioon föderaalriigi eelarve haridusasutus kõrgemale kutseharidus"Siberi Riiklik Tööstusülikool"

Vene Föderatsiooni transpordiministeerium LIITRIIGI EELARVELINE KÕRGHARIDUSASUTUS "VENEMAA TRANSPORDIÜLIKOOL (MIIT)" matemaatilise analüüsi osakond

Loengud matemaatika teemal TMM-Yu V Chebrakov MAAGIC MATRIKSIDE TEOORIA Peterburi, 00 UDC 5+5 LBC Ch35 Arvustajad: füüsika- ja matemaatikateaduste doktor, Peterburi tehnikaülikooli MA professor Sall kandidaat

A A KIRSANOV KEERULISED NUMBRID PSKOV BBK 57 K45 Välja antud algebra ja geomeetria osakonna ning SM Kirovi nimelise PSPI toimetus- ja kirjastusnõukogu otsusega Retsensent: Medvedeva IN, füüsika ja matemaatika kandidaat, dotsent

Mihhailova Inna Anatoljevna matemaatika ja loodusteaduste instituut. Algebra ja fundamentaalinformaatika osakond. 30. september 2018 Fibonacci numbrite näited Fibonacci numbrid 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Uurali föderaalülikool, matemaatika ja arvutiteaduse instituut, algebra ja diskreetse matemaatika osakond Polünoomi mõiste Definitsioonid Ühe muutuja polünoom on vormi avaldis

Peatükk 0 JÄRELDUSED Algoritmid A- Arvude järjestamine A- Aritmeetiline progress A- Geomeetriline edenemine A- Summeerimine A-5 Lõpmatult kahanev geomeetriline edenemine

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM NOVOSIBIRSK RIIKÜLIKOOLI SPETSIAALNE HARIDUS- JA TEADUSKESKUS Matemaatika 0. klass MATEMAATILISE INDUKTSIOONI MEETOD JA LÕPETATU ARVU

Föderaalne Haridusagentuur Riiklik kutsealane kõrgharidusasutus Ukhta Riiklik Tehnikaülikool (USTU) FUNKTSIOONIDE LIIT Metoodiline

ARVUJÄRGSED. GEOMEETRILINE PROGRESSION Geomeetriline progressioon on arvjada b, mille esimene liige erineb nullist ja iga järgnev liige alates teisest,

Föderaalne haridusagentuur Riiklik üldharidusasutus "Tveri Riiklik Ülikool" Matemaatika osakond Algebra osakond

Peatükk 0 TESTID JA DIKTEERIMISED T-00 Jada liikmete arvutamine rekursiivse valemi abil T-00 Korduva valemi koostamine T-00 Üldmõiste valem T-004 Aritmeetilise progressiooni koostamine

6-7 õppeaasta 6, klass Matemaatika Kompleksarvud 4 Algebravõrrandid Ruutvõrrandid Koolialgebra kursusel arvestati ruutvõrrandeid ax bx c =, a, () reaalkoefitsientidega.

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Riiklik erialane kõrgharidusasutus MOSKVA RIIKLIK TEHNIKAÜLIKOOL II Pospelov,

Loeng Peatükk Hulgad ja tehted nendega Hulga mõiste Hulga mõiste viitab matemaatika kõige primaarsematele mõistetele, mida ei defineerita lihtsamate kaudu.

Loengud matemaatikast. Probleem. TMM-1 Yu. V. Chebrakov MAAGIC MATRIKSIDE TEOORIA Peterburi, 010 UDC 511+51 BBC Ch345 Arvustajad: füüsika- ja matemaatikateaduste doktor, professor Peterburi. tehnika. ülikool

Edasiminekud Jada on loomuliku argumendi funktsioon Jada määramine üldtermini valemiga: a n = f(n), n N, näiteks a n = n + n + 4, a = 43, a = 47, a 3 = 3,. Järjestus

DIFERENTSIAALVÕRRADUSED Üldmõisted Diferentsiaalvõrranditel on palju ja kõige erinevamaid rakendusi mehaanikas, füüsikas, astronoomias, tehnoloogias ja teistes kõrgema matemaatika harudes (näiteks

Pealkiri Sissejuhatus. Põhimõisted.... 4 1. Volterra integraalvõrrandid... 5 Kodutöö valikud.... 8 2. Volterra integraalvõrrandi lahendaja. 10 kodutöö valikut... 11

VENEMAA FÖDERATSIOONI ÜLD- JA KUTSEHARIDUSMINISTEERIUM Nižni Novgorodi Riiklik Ülikool. N. I. LOBACHEVSKY Arvutusmatemaatika ja küberneetika teaduskond matemaatika osakond

Loeng. Küüliku probleem. Fibonacci arvud, Fibonacci jada, korduv valem 3. Fibonacci arvude omadused (a) Lineaarsus (b) Arvuteoreetilised omadused (c) Summad: F + F +... + F n, paaritu

Kirjastus LINEAR ALGEBRA TSTU Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Tambovi Riiklik Tehnikaülikool LINEAR ALGEBRA Juhised üliõpilastele

Tishin V. I. Peamised lahendusmeetodid trigonomeetrilised võrrandid Tishin V I Matemaatika õpetajatele ja õpilastele Materjali koostas matemaatika õpetaja Tišin Vladimir Ivanovitš aasta Tišin V I põhiaine

Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid. Konev V.V. Loengu konspektid. Sisu 1. Põhimõisted 1 2. Võrrandid, mis võimaldavad järku taandada 2 3. Kõrgemat järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Loeng.7. Arvu mõiste laiendamine. Kompleksarvud, toimingud nendega Kokkuvõte: Loeng toob välja vajaduse üldistada arvu mõiste loomulikust kompleksini. algebraline,

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Föderaalne riigieelarveline kutsekõrgharidusasutus "ULJANOVSK RIIK TEHNIKAÜLIKOOL"

3. loeng Taylori ja Maclaurini seeria Võimseeria rakendamine Funktsioonide laiendamine astmeridadeks Taylori ja Maclaurini seeriad Rakenduste jaoks on oluline, et antud funktsiooni oleks võimalik laiendada astmereaks, need funktsioonid

Uurali föderaalülikool, matemaatika ja arvutiteaduse instituut, algebra ja diskreetse matemaatika osakond

Teema 2-11: Omavektorid ja omaväärtused A. Ya. Ovsyannikov Uurali föderaalse ülikooli matemaatika ja arvutiteaduse instituudi algebra ja diskreetse matemaatika osakond algebra ja geomeetria

Novosibirski Riiklik Ülikool

KONTROLLTÖÖDE ÜLESANDED Valdkonnas: "Algebra" Eriala: "Matemaatika" korrespondentkursus 6 semester Koostanud: õppealajuhataja Trofimuk AA Polünoomid mitmes muutujas resultant algebraline

Juhised, lahendused, vastused VÕRRANDID TÄISARVES. Võrrand ühe tundmatuga Lahendus. Paneme selle võrrandisse. Saame võrrandi (4a b 4) (a b 8) 0. Võrrand A B 0, kus A ja B on täisarvud, on täidetud,

MATEMAATILISSE ANALÜÜSI SISSEJUHATUS Loeng. Komplekti mõiste. Funktsioonide määratlemise põhiomadused. Põhilised elementaarfunktsioonid SISUKORD: Hulgateooria elemendid Reaalarvude hulk Numbriline

Tööprogramm algebras 8.-9. klassi õpilastele töötati välja põhiteadmiste omandamise tulemuste nõuete alusel. haridusprogramm peamine Üldharidus. Tööprogramm on koostatud

Uurali föderaalülikool, matemaatika ja arvutiteaduse instituut, algebra ja diskreetse matemaatika osakond

ESIMESE JÄRKU TARILISED DIFERENTSIAALVÕRDED Põhimõisted Diferentsiaalvõrrand on võrrand, millesse tuletise või diferentsiaalmärgi alla siseneb tundmatu funktsioon.

PÜSIVATE KOEFITSIENTIDEGA LINEAARSTE DIFERENTSIAALVÕRDENDITE SÜSTEEMID Taandamine üheks järgu võrrandiks Praktilisest seisukohast on konstantsete koefitsientidega lineaarsed süsteemid väga olulised

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Nižni Novgorodi Riiklik Ülikool NI Lobatševski Riiklik Uurimisülikool AV Leontief PROBLEEMIDE KOGUMINE (MATEMAATILINE MEETOD

KRASNOYARSK PIIRKONNA HALUTUSE HARIDUSASUTUS KRASNOYARSK RIIKLIKU ÜLIKOOLI LOODUSTEADUSTE KIRJAKORRALDUSKOOL Krasnojarski Riikliku Ülikooli juurde MATEMAATIKA LISAPEATIKID 10. klass moodul 4. MEETOD

Vene Föderatsiooni Haridusministeerium Gubkin Venemaa Riiklik Nafta- ja Gaasiülikool VI Ivanov Juhised teema "DIFERENTSIVÕRRANDID" uurimiseks (üliõpilastele

MURDUKOKSENDIGA VASTUS Kui arvu astme astendaja t on murdosa, siis need t, N, siis mittenegatiivsete väärtuste (0) puhul eeldatakse definitsiooni järgi def Negatiivsete arvude puhul (0)< операция возведения

Vene Föderatsiooni Põllumajandusministeerium Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus "Permi Riiklik Põllumajandusakadeemia nimega

RATSIOONIARVUD Harilikud murrud Määratlus Harilikeks murdudeks nimetatava vormi murrud Tavamurrud, tavalised ja ebaõiged Definitsioon Murd, õige, kui< при, где Z, N Z, N Z,

Loeng. 5. DISKREETSTE LINEAARSÜSTEEMIDE KIRJELDUS JA ANALÜÜS ERINEVÕRRADE KASUTAMISEL 5.. ÜHEDIMENSIOONILISED SÜSTEEMID DETERMINISTILISE TEGEVUSE ALUSEL 5... Signaalide ja süsteemide kirjeldus. Signaalide kirjeldus. Signaalid

Selle lõigu kokkuvõtteks märgime, et nad räägivad ka järjestusmaatriksi omavektorite kohta, pidades silmas operaatori -mõõtmelise ruumi omavektoriid, mille maatriks on mingil alusel

PRAKTILINE TEGEVUS Ratsionaalmurdude integreerimine Ratsionaalmurd on murd kujul P Q, kus P ja Q on polünoomid Ratsionaalmurdu nimetatakse õigeks, kui polünoomi P aste on astmest madalam.

Teema 14 "Algebralised võrrandid ja mittelineaarsete võrrandite süsteemid" Polünoom astmega n on polünoom kujul P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, kus a 0, a 1 , a n-1, a n antud arvud, a 0,

Teema: Lineaarvõrrandisüsteemide üldteooria A. Ya. Ovsjannikov Uurali föderaalülikooli matemaatika ja arvutiteaduse instituut Algebra ja diskreetse matemaatika osakond Algebra ja geomeetria jaoks

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Moskva Riiklik Geodeesia ja Kartograafia Ülikool (MIIGAIK) Kaugõppe teaduskond

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM LIITRIIGI EELARVE KÕRGHARIDUSASUTUS "ST.

Lahendage diferentsiaalvõrrand Lahendus: koostage ja lahendage karakteristlik võrrand:, Saadud kaks erinevat reaaljuurt Jääb vaid valemist juhindudes vastus üles kirjutada

LOENG POLÜNOOMI TÄITAVAD KOMPLEKSARVUD Arvhulgad Kompleksarvude hulk Reaalkoefitsientidega polünoomid Faktoring ARVU KOGUMINE

KORDUVAD SUHTED

KORDUVAD SUHTED

(lat. recur-rens, perekonna käände recurrentis - tagasipöördumine) - sama tüüpi f-ly, to-rukis ühendavad teatud jada üksteise järel (see võib olla arvude jada, f-tsioon jne ). Sõltuvalt R.-ga seotud objektide olemusest võivad need seosed olla algebralised, funktsionaalsed, diferentsiaal-, integraal- jne.

Naib. tuntud klassi R. s. on korduvad funktsioonid erifunktsioonid. Jah, selleks silindrilised funktsioonid Z m (x)P. Koos. välja nägema

Need võimaldavad funktsiooni järgi Z m0 (x) leida funktsioone Z m (x)at T= T 0 b 1, T 0 b 2 jne või näiteks funktsioonide väärtuste järgi mingil hetkel X 0 . 0 leida (numbrilistes arvutustes) mis tahes funktsiooni väärtuse

Samal hetkel (siin m 0 - mis tahes reaalarv).

Dr. oluline klass R. s. esitage arvukalt järjestikuste lähenduste meetodeid (vt. iteratsioonimeetod); siin on meetodid teooria häired.

Kvantmehaanikas on veel üht tüüpi R. s., mis ühendab vektoreid Hilberti olekuruumis. Näiteks statsionaarsed harmooniad, ostsillaatorid on parameetrilised mittenegatiivsete täisarvudega. Vastavad vektorid, mida tähistatakse , kus n- terve, erinevatega n saab loomisoperaatorite tegevusega üksteiselt hankida + ja hävitamine A:

Neid seoseid saab lahendada, väljendades mis tahes vektorit (madalaima energiaga olek, h = 0):

Selle konstruktsiooni üldistus on esitus teine ​​kvantimine kvantstatistikas. mehaanika ja kvantväljateooria (vt Fock ruum).

Tüüpiline näide R. s. statistikas mehaanika - Bogolyubovi ahela moodustavate osajaotusfunktsioonide võrrandid (vt. Bogoljubovi võrrandid); teadmised sellistest f-sioonidest võimaldavad teil leida kogu termodünaamika. süsteemi omadused.

Kvantväljateoorias dünaamika. sisaldas näiteks Greeni funktsioonid. Nende arvutamiseks erinevad lähendused, kõige sagedamini - häirete teooria arvutused. Alternatiivne lähenemine põhineb integro-diferentsiaalil Dysoni võrrandid, mis on R. s .: kahepunktilise Greeni funktsiooni võrrand sisaldab neljapunktilist jne. Sarnaselt Bogoljubovi võrrandiga saab seda süsteemi lahendada ainult ahela "lõhkumisega" ("katkestuse" koht on valitakse tavaliselt füüsilistest kaalutlustest ja määrab tulemuseks ).

Teist tüüpi R. s. kvantvälja teoorias - Identiteetide hord teooriates kalibreerimisväljad. Need identiteedid esindavad ka integro-diferentsiaalsuhete ahelat, mis ühendab Greeni funktsioone dets. välisjoonte arv p on teooria gabariidi invariantsi tagajärg. Need mängivad määravat rolli kalibreerimissümmeetria kontrollimisel protseduuri ajal renormaliseerimine.

Lõpuks on see ka korduv protseduur: igal etapil (igas järgmises tsüklis) vastutingimused, saadud vähemate silmustega diagrammide arvutamisel (üksikasju vt R operatsioon).A. M. Malokostov.

Füüsiline entsüklopeedia. 5 köites. - M.: Nõukogude entsüklopeedia. Peatoimetaja A. M. Prohhorov. 1988 .

Vaadake, mis on "RECURRENT RELATIONS" teistes sõnaraamatutes:

korduvad suhted- - [L.G. Sumenko. Inglise vene infotehnoloogia sõnaraamat. M.: GP TsNIIS, 2003.] Teemad infotehnoloogiaüldiselt ET korduvad suhted … Tehnilise tõlkija käsiraamat

- (Weberi funktsioonid) üldnimetus erifunktsioonidele, mis on diferentsiaalvõrrandite lahendused, mis saadakse matemaatilise füüsika võrrandite muutujate eraldamise meetodi rakendamisel, näiteks Laplace'i võrrand, võrrand ... ... Wikipedia

Või on Josephuse riim tuntud matemaatiline probleem, millel on ajaloolised varjundid. Ülesanne põhineb legendil, et Yodfati linna kaitsnud Josephus Flaviuse salk ei tahtnud alistuda roomlaste kõrgematele jõududele, kes blokeerisid koopa. ... ... Wikipedia

Pafnutõ Lvovitš Tšebõšev Matemaatikas nimetatakse reaalpolünoomide lõpmatut jada ortogonaalseteks polünoomideks ... Wikipedia

See artikkel tehakse ettepanek kustutada. Põhjuste selgitus ja vastav arutelu on leitavad Vikipeedia lehelt: Kustutatakse / 22. november 2012. Arutelu käigus ... Vikipeedia

Padovani jada on täisarvuline jada P(n), millel on algväärtused ja lineaarne kordusseos. P(n) esimesed väärtused on 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265 ... Vikipeedia

Kindla kujuga hermiitpolünoomid on polünoomide jada ühes reaalses muutujas. Hermiidi polünoomid tekivad tõenäosusteoorias, kombinatoorikas ja füüsikas. Need polünoomid on nime saanud Charles Hermite'i järgi. Sisu 1 ... ... Vikipeedia

- (Besseli funktsioonid) Besseli võrrandi lahendused Zv(z), kus parameeter (indeks) v on suvaline reaal- või kompleksarv. Rakendustes kohtab sageli võrrandit, mis sõltub neljast parameetrist: mille lahendused on väljendatud C... Füüsiline entsüklopeedia

Lineaaralgebralise süsteemi lahendamise meetod. võrrandid A x= b hermiitliku mitteainsuse maatriksiga A. Otsestest meetoditest on see kõige tõhusam arvutis realiseerituna. Meetodi arvutusskeem põhineb üldiselt hermiitlikul faktorisatsioonil ... ... Matemaatiline entsüklopeedia

Modifitseeritud Besseli funktsioonid on puhtalt kujuteldava argumendi Besseli funktsioonid. Kui asendame Besseli diferentsiaalvõrrandis väärtusega, saab see kujul Seda võrrandit nimetatakse modifitseeritud Besseli võrrandiks ... Wikipedia