Agafurov Maxim

Õpilase uurimistöö ülevaade.

1. Uurimistöö teostas MBOU "Keskkool nr 2" 7. "A" klassi õpilane Maxim Agafurov.
2. Õppejuht: matemaatikaõpetaja – Lukyanova O.A.
3. Töö teema: "Ebatavalised korrutamisviisid". Töö liik: abstraktne. See töö on tänapäeval aktuaalne, sest. suuliste arvutuste lihtsustatud meetodite tundmine on endiselt vajalik isegi kõigi kõige töömahukamate arvutusprotsesside täieliku mehhaniseerimise korral. Suulised arvutused võimaldavad mitte ainult peas kiiresti arvutusi teha, vaid ka kontrollida, hinnata, leida ja parandada kalkulaatori abil tehtud arvutuste tulemuste vigu. Lisaks arendab arvutusoskuste arendamine mälu ja aitab koolilastel täielikult omandada füüsilise ja matemaatilise tsükli aineid.
4. Töö uurimuslik osa on valminud. Antakse nende näidete selgitused ja tehakse asjakohased järeldused.
5. Teaduse eesmärgid ja eesmärgid uurimistöö Hästi sõnastatud ja teemaga seotud.
6. Erikirjandust on uuritud kvalitatiivselt piisava sügavusega.
7. Uurimistöö järeldused on loogilised, teoreetiliselt põhjendatud.
8. Töö esitab uurimusliku osa piisaval tasemel. Tema kirjeldus vastab järeldustele. Suurem osa tööst tehti enamasti üksinda, vähese juhendava nõu ja järelevalvega.

Lae alla:

Eelvaade:

Sissejuhatus
Mitmekohaliste arvude korrutamise viisid
1.1. „Armukadedus ehk võre korrutis”………………………………..4
1.2. „Vene talupojaviis”……………………………………………5 1.3. "Hiina korrutamisviis"……………………………………………6
Uurimistöö osa.
2.1. Suvalise kahekohalise arvu kvadratuur………………………6 2.2. Arvu ruut, mis on lähedane „ümmarguseks”…………………………………7
2.4. Uus viis arvude ruudustamiseks 40-lt 60-le…………………7 2.5. Numbriga 5 lõppeva arvu ruudustamiseks …………………8 2.6 Numbriga 1 lõppeva arvu ruutudesse panemine……………………8 2.7. Numbriga 6 lõppeva arvu kvadratuur…………………8 2.8. Numbriga 9 lõppeva arvu ruudustamiseks …………………8 2.9. Numbriga 4 lõppeva arvu kvadratuur…………………8 Järeldus. Bibliograafia.

Sissejuhatus « Loendamine ja arvutused -

Korra põhialused peas.

Johann Heinrich Pestalozzi (1746-1827)

Igaüks, kes on lapsepõlvest matemaatikaga tegelenud, arendab tähelepanu, treenib oma aju, tahet, kasvatab visadust ja visadust eesmärgi saavutamisel.

Asjakohasus: Matemaatika on üks tähtsamaid teadusi maa peal ja sellega kohtub inimene oma elus iga päev. Vaimne loendamine on vanim ja lihtsaim viis arvutamiseks. Suuliste arvutuste lihtsustatud meetodite tundmine on endiselt vajalik isegi kõigi kõige töömahukamate arvutusprotsesside täieliku mehhaniseerimise korral. Suulised arvutused võimaldavad mitte ainult peas kiiresti arvutusi teha, vaid ka kontrollida, hinnata, leida ja parandada kalkulaatori abil tehtud arvutuste tulemuste vigu. Lisaks arendab arvutusoskuste arendamine mälu ja aitab koolilastel täielikult omandada füüsilise ja matemaatilise tsükli aineid.

Inimesel on igapäevaelus võimatu ilma arvutusteta hakkama saada. Seetõttu õpetatakse meid matemaatikatundides ennekõike arvudega tehteid sooritama ehk loendama. Korrutame, jagame, liidame ja lahutame kõigile koolis õpitavatele tavapärastel viisidel.

Tahtsin küsida, kas on veel mingeid võimalusi arvutamiseks? Selgus, et korrutada on võimalik mitte ainult nii, nagu nad meile matemaatikaõpikutes pakuvad, vaid ka teistmoodi. Internetiressursse kasutades õppisin palju ebatavalisi korrutamisviise. Lõppude lõpuks on kiire arvutuste tegemise võimalus ausalt öeldes üllatav.

Uuringu eesmärk :

• Leidke võimalikult palju ebatavalisi arvutusviise.
• Õppige neid rakendama.
• Valige enda jaoks koolis pakutavatest huvitavamad ja kasutage neid loendamisel.

Uurimise eesmärgid:

1. Tutvuge vanade korrutamismeetoditega, nagu: "Armukadedus ehk võrekorrutis", "Väike loss", "Vene talupojameetod", "Lineaarne meetod".

2. Tutvuge arvude suulise kvadratuurimise tehnikatega ja rakendage neid praktikas.

Natuke ajalugu.

Praegu kasutatavad arvutusmeetodid ei olnud alati nii lihtsad ja mugavad. Vanasti kasutati tülikamaid ja aeglasemaid meetodeid. Ja kui 21. sajandi koolipoiss saaks reisida viis sajandit tagasi, avaldaks ta meie esivanematele muljet oma arvutuste kiiruse ja täpsusega. Kuulujutt temast oleks levinud ümberkaudsetes koolides ja kloostrites, varjutades tolle ajastu osavamate lettide hiilguse ja uue suure meistri juurde oleks tulnud kõikjalt õppima.

Eriti rasked olid vanasti korrutamise ja jagamise toimingud. Sel ajal ei olnud iga tegevuse jaoks välja töötatud ühte tehnikat.Vastupidi, korraga oli kasutusel ligi kümmekond erinevat korrutamis- ja jagamismeetodit – üks keerulisem kui teine, mida keskmise võimekusega inimene ei mäletanudki. Iga arvutamise õpetaja hoidis kinni oma lemmikmeetodist, iga "jagamismeister" (oli selliseid spetsialiste) kiitis oma viisi selle toimingu sooritamiseks.Matemaatika arengu aastatuhandete jooksul on leiutatud palju korrutamismeetodeid. Välja arvatud korrutustabel, on need kõik mahukad, keerulised ja raskesti meeldejäävad. Usuti, et kiire korrutamise kunsti valdamiseks on vaja erilist loomulikku annet. Tavalistele inimestele, kellel polnud erilist matemaatilist annet, oli see kunst kättesaamatu.

Ja kõik need korrutamistehnikad - "male või orel", "painutamine", "rist", "võre", "tagasi ette", "teemant" ja teised võistlesid omavahel ja assimileeriti suurte raskustega.

Vaatame kõige huvitavamaid ja lihtsamaid korrutamisviise.

1.1. "Armukadedus ehk võre korrutamine"

15. sajandi itaalia matemaatik Luca Pacioli annab 8 võimalust korrutamiseks. Minu meelest on neist huvitavamad “armukadedus ehk võrekorrutis” ja “väike loss”.

Korrutame 347 29-ga.

Joonistame ristküliku, jagame selle ruutudeks, jagame ruudud diagonaalselt. Tulemuseks on pilt, mis sarnaneb Veneetsia majade võre aknaluugidega. Siit tuleneb ka meetodi nimi.

Tabeli ülaossa kirjutame numbri 347 ja paremalt ülalt alla - 29

Igasse ruutu kirjutame selle ruuduga samas reas asuvate arvude ja ühe veeru korrutise. Kümned asuvad ülemises kolmnurgas ja ühed alumises. Numbrid liidetakse piki iga diagonaali. Tulemused on kirjutatud tabelist vasakule ja paremale.

Vastus on 10063.

Selle meetodi ebamugavus seisneb ristkülikukujulise tabeli ehitamise töömahukuses ning korrutamisprotsess ise on huvitav ja tabeli täitmine meenutab mängu.

1.2. "Vene talurahva viis"

Venemaal oli talupoegade seas levinud meetod, mis ei nõudnud kogu korrutustabeli tundmist. Kõik, mida vajate, on võime arvud 2-ga korrutada ja jagada.

Ühele reale kirjutame ühe numbri vasakule ja teise paremale.Jagame vasakpoolse arvu 2-ga, parema arvu korrutame 2-ga ja kirjutame tulemused veergu. Kui jagamisel tekib jääk, siis see visatakse ära. Korrutamist ja 2-ga jagamist jätkake, kuni vasakule jääb 1.

Seejärel kriipsutame veerust välja need read, milles vasakul on paarisarvud. Nüüd lisame parempoolsesse veergu ülejäänud numbrid.

Vastus on 1972026.

1.3 Hiina korrutamisviis.

Kujutagem nüüd ette Internetis hoogsalt arutatud korrutamismeetodit, mida nimetatakse hiina keeleks. Arvude korrutamisel võetakse arvesse sirgete lõikepunkte, mis vastavad mõlema teguri iga numbri numbrite arvule.

Joonistage paberilehele vaheldumisi jooni, mille arv määratakse selle näite põhjal.

Esimesed 32: 3 punast joont ja veidi allapoole - 2 sinist. Seejärel 21: risti juba joonistatud värviga, kõigepealt tõmmake 2 rohelist, seejärel 1 vaarikas. TÄHTIS: esimese numbri jooned tõmmatakse vasakust ülanurgast paremale, teine ​​number - alumisest vasakust paremasse ülaossa. Seejärel loendame ristumispunktide arvu igas kolmes piirkonnas (joonisel on piirkonnad tähistatud ringidena). Niisiis, esimesel alal (sadade pindala) - 6 punkti, teisel (kümnete ala) - 7 punkti, kolmandal (pindalaühikud) - 2 punkti. Seetõttu on vastus: 672.

2. Uurimistöö osa

Kiirloendustehnikad arendavad mälu. See ei puuduta ainult matemaatikat, vaid ka teisi aineid, mida koolis õpitakse.

Töömeetoditele tahan lisada ka arvude verbaalse ruudustamise ilma kalkulaatorit kasutamata ja mis on vajalik GIA ja ühtse riigieksami ülesannete lahendamisel ning on ka heaks vaimseks treeninguks.

A Liigume nüüd mõne huvitava juurde ja mulle meeldisid viisid arvude verbaalseks ruuduks muutmiseks,kasutatakse algebra ja geomeetria tundides.

2.1. Suvalise kahekohalise arvu kvadratuur.

Kui mäletate kõigi arvude ruutusid vahemikus 1 kuni 25, on lihtne leida iga kahekohalise arvu ruutu, mis on suurem kui 25.

Mis tahes kahekohalise arvu ruudu leidmiseks peate selle arvu ja 25 vahe korrutama 100-ga ja lisama saadud korrutisele selle arvu 50-le liitmise ruut või selle arvu ülejäägi ruudu. 50.

Kaaluge näidet:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(M–25) * 100+ (50–M) 2 = 100–2500 + 2500–100 M + M 2 = M 2.

2.2. "Ümarale" lähedase arvu ruut.

Ruudude arvutamine analüüsitud näidetes toimub valemi alusel

A ² \u003d (a + c) (a - c) + c ²,

Milles hea numbrivalik V hõlbustab oluliselt arvutusi: esiteks peab üheks teguriks osutuma "ümmargune" arv (soovitav on, et ainult esimene number oleks selle nullist erinev number) ja teiseks number ise V peaks olema kergesti ruudukujuline, st olema väike. Need tingimused realiseeruvad ainult numbrite põhjal A "ümmarguse" lähedal.

192² = 200*184 + 8² = 36864, / (192+8)(192-8)+ 8²/

412² = 400*424 + 12² = 169744, /(412-12)(412+12)+ 12²/

2.3. Arvude ruutudeks 40 kuni 50.

2.4. Arvude ruutudeks 50 kuni 60.

Kuuenda kümnenda arvu (51,52,53,54,55,56,57,58,59) ruudustamiseks
lisage ühikute arvule 25 ja lisage sellele summale ühikute arvu ruut.
Näiteks:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. 5-ga lõppeva arvu ruudustamiseks.

Korrutage kümnete arv järgmise kümnenditega ja lisage 25.

15*15 = 10*20+ 25=225 või (1*2 ja määrake 25 paremal)

35*35 =30*40 +25=1225 (3*4 ja määrake 25 paremal)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 ja määrake 25 paremal)

2.6. Numbriga 1 lõppeva arvu ruut.

Numbriga 1 lõppeva arvu ruudustamisel tuleb see ühik asendada 0-ga, panna uus arv ruutu ja lisada sellele ruudule algne arv ja arv, mis saadi, kui 1 asendatakse 0-ga.

Näide nr 6. 71 2 = ?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. 6-ga lõppeva arvu ruut.

6-ga lõppeva arvu ruudustamisel peate asendama arvu 6 5-ga, panema uue arvu ruutudesse (nagu varem kirjeldatud) ja lisama sellele ruudule algse arvu ja arvu, mis saadi 6 asendamisel 5-ga.

Näide number 7. 56 2 =?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8. Numbriga 9 lõppeva arvu ruut.

Numbriga 9 lõppeva arvu ruudustamisel tuleb see number 9 asendada 0-ga (saame järgmise naturaalarvu), ruudustada uus arv ja sellest ruudust lahutada algne arv ja arv, mis saadi, kui asendada 9 0-ga.

Näide number 8. 59 2 =?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9. Numbriga 4 lõppeva arvu ruut.

Numbriga 4 lõppeva arvu ruudustamisel peate asendama arvu 4 5-ga, panema uue arvu ruutudesse ning lahutama sellest ruudust algse arvu ja arvu, mis saadi, kui asendad 4 5-ga.

Näide #9. 84 2 =?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. Ruudustamisel on sageli mugav kasutada valemit (ja b) 2 \u003d a 2 + b 2 2ab.

Näide nr 10.

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

Järeldus

Uurimistöö tegemisel vajasin lisaks teadmistele, mis mul on, ka vajalikku tööd lisakirjandusega.

1. Oma töö käigus leidsin ja omandasin erinevaid võimalusi mitmekohaliste arvude korrutamiseks ning võin väita järgmist - enamus mitmekohaliste arvude korrutamise viise põhinevad korrutustabeli tundmisel

"Võrekorrutamise" meetod pole tavapärasest halvem. See on veelgi lihtsam, kuna arvud sisestatakse tabeli lahtritesse otse korrutustabelist ilma samaaegse liitmiseta, mis esineb standardmeetod;

- "Vene talupoja" korrutamismeetod on palju lihtsam kui varem käsitletud meetodid. Kuid see on ka väga mahukas.

Kõigist leitud ebatavalistest loendusmeetoditest tundus kõige huvitavam meetod „võrekorrutamine või armukadedus”. Näitasin seda oma klassikaaslastele ja ka neile meeldis see väga.

Hiina korrutamismeetod, mida hiinlased kasutasid, tundus mulle kõige lihtsam, kuna see ei nõua korrutustabeli tundmist. Olles õppinud loendama kõigil esitatud viisidel, jõudsin järeldusele, et kõige lihtsamad on need, mida me koolis õpime, võib-olla on need meile tuttavamad.

2. Õppisin mõned peast loendamise nipid, mis mind elus aitavad. Minu jaoks oli projekti kallal väga huvitav töötada. Õppisin enda jaoks uusi korrutamismeetodeid, kaalusin erinevaid arvude ruutudeks panemise tehnikaid. Paljud arvutused on seotud taandatud korrutusvalemitega, mida õppisin algebra tunnis. Kasutades peastarvutuste lihtsustatud meetodeid, saan nüüd teha kõige aeganõudvamaid aritmeetilisi tehteid ilma kalkulaatorit ja arvutit kasutamata. Mitte ainult mina, vaid ka mu vanemad ei tundnud huvi. Näitasin sõpradele ja klassikaaslastele vaimse korrutamise tehnikaid. Suuliste arvutuste lihtsustatud meetodite tundmine on eriti oluline juhtudel, kui teie käsutuses pole tabeleid ega kalkulaatorit. Mul oli soov seda tööd jätkata ja õppida juurde peast loendamise meetodeid. Arvan, et minu töö ei lähe minu jaoks asjata, saan kasutada kõiki GIA ja ühtse riigieksami sooritamisel omandatud teadmisi.

Donskoi, 2013

Eelvaade:

Esitluste eelvaate kasutamiseks looge Google'i konto (konto) ja logige sisse:

Tagasi ette

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

"Loendamine ja arvutused on peas oleva korra aluseks."
Pestalozzi

Sihtmärk:

• Tutvuge vanade korrutamismeetoditega.
• Laiendage oma teadmisi erinevatest korrutamistehnikatest.
• Õppige sooritama tehteid naturaalarvudega, kasutades vanu korrutamismeetodeid.

1. Vana viis 9-ga korrutamiseks sõrmedel
2. Korrutamine Ferroli meetodil.
3. Jaapani korrutamisviis.
4. Itaalia korrutamisviis (“ruudustik”)
5. Vene korrutamise viis.
6. India korrutamise viis.

Tunni edenemine

Kiirloendamise tehnikate kasutamise asjakohasus.

Kaasaegses elus peab iga inimene sageli tegema tohutul hulgal arvutusi ja arvutusi. Seetõttu on minu töö eesmärk näidata lihtsaid, kiireid ja täpseid loendusmeetodeid, mis mitte ainult ei aita teid igasuguste arvutuste tegemisel, vaid tekitavad sõprade ja seltsimeeste seas märkimisväärset üllatust, sest loendustoimingute vaba sooritamine võib suuresti viidata loendustoimingute erakorralisusele. teie intellekt. Arvutuskultuuri põhielement on teadlik ja tugev arvutioskus. Arvutuskultuuri kujundamise probleem puudutab kogu matemaatika koolikursust alates algklassidest ja eeldab mitte ainult arvutusoskuste valdamist, vaid nende kasutamist erinevates olukordades. Arvutusoskuste ja -oskuste omamine on õpitava materjali omastamiseks väga oluline, see võimaldab arendada väärtuslikke tööomadusi: vastutustundlik suhtumine oma töösse, oskus avastada ja parandada töös tehtud vigu, täpne teostus. tööülesannet ja loomingulist suhtumist töösse. Viimasel ajal on aga arvutusoskuste, väljenditeisenduste tase märgatavalt langenud, õpilased teevad arvutamisel palju vigu, kasutavad üha enam kalkulaatorit, ei mõtle ratsionaalselt, mis mõjutab negatiivselt hariduse kvaliteeti ja matemaatikateadmiste taset. õpilastest üldiselt. Arvutuskultuuri üks komponente on verbaalne loendamine millel on suur tähtsus. Võimalus kiiresti ja õigesti teha lihtsaid arvutusi "mõttes" on vajalik iga inimese jaoks.

Muistsed arvude korrutamise viisid.

1. Vana 9-ga korrutamise viis sõrmedel

See on lihtne. Mis tahes arvu 1 ja 9 vahel 9-ga korrutamiseks vaadake käsi. Painutage korrutatavale arvule vastav sõrm (näiteks 9 x 3 - painutage kolmas sõrm), lugege sõrmed kuni kõvera sõrmeni (9 x 3 puhul on see 2), seejärel loendage pärast kõverat sõrme (meie puhul 7). Vastus on 27.

2. Korrutamine Ferroli meetodil.

Korrutuskorrutise ühikute korrutamiseks korrutage tegurite ühikud, kümnete saamiseks korrutage ühe kümned teise ühikutega ja vastupidi ning liitke tulemused, sadade saamiseks korrutage kümned. Ferroli meetodit kasutades on lihtne kahekohalisi arve verbaalselt korrutada 10-st 20-ni.

Näiteks: 12x14=168

a) 2x4=8, kirjuta 8

b) 1x4+2x1=6, kirjuta 6

c) 1x1=1, kirjuta 1.

3. Jaapani korrutamismeetod

See meetod meenutab veeruga korrutamist, kuid see võtab üsna kaua aega.

Vastuvõtu kasutamine. Oletame, et peame korrutama 13 24-ga. Joonistame järgmise pildi:

See joonis koosneb 10 reast (arv võib olla mis tahes)

• Need read tähistavad numbrit 24 (2 rida, taane, 4 rida)
• Ja need read tähistavad numbrit 13 (1 rida, taane, 3 rida)

(joonisel on ristmikud tähistatud punktidega)

Ületuste arv:

• Ülemine vasak serv: 2
• Alumine vasak serv: 6
• Üleval paremal: 4
• All paremal: 12

1) Ristid ülemises vasakus servas (2) - vastuse esimene number

2) Alumise vasaku ja ülemise parema serva lõikepunktide summa (6 + 4) - vastuse teine ​​number

3) Ristmikud alumises paremas servas (12) - vastuse kolmas number.

Selgub: 2; 10; 12.

Sest kaks viimast arvu on kahekohalised ja me ei saa neid üles kirjutada, siis kirjutame üles ainult ühikud ja lisame eelmisele kümned.

4. Itaalia korrutamisviis ("Võrgustik")

Itaalias ja ka paljudes idamaades on see meetod saanud väga kuulsaks.

Vastuvõtu kasutus:

Näiteks korrutame 6827 345-ga.

1. Joonistame ruudustiku ja kirjutame ühe numbri veergude kohale ja teise kõrgusesse.

2. Korrutage iga rea ​​arv järjestikku iga veeru numbritega.

• 6*3 = 18. Kirjuta 1 ja 8 üles
• 8*3 = 24. Kirjutage 2 ja 4 üles

Kui korrutamisel saadakse ühekohaline arv, kirjutame ülaossa 0 ja selle numbri alla.

(Nagu meie näites, saime 2 korrutamisel 3-ga 6. Üleval kirjutasime 0 ja alla 6)

3. Täitke kogu ruudustik ja liidage diagonaalribadele järgnevad numbrid. Hakkame voltima paremalt vasakule. Kui ühe diagonaali summa sisaldab kümneid, siis liidame need järgmise diagonaali ühikutele.

Vastus: 2355315.

5. Vene korrutamisviis.

Seda korrutamistehnikat kasutasid vene talupojad umbes 2-4 sajandit tagasi ja see töötati välja iidsetel aegadel. Selle meetodi olemus on järgmine: "Kui palju me jagame esimese teguri, korrutame teise nii palju." Siin on näide: Me peame korrutama 32 13-ga. Nii oleksid meie esivanemad selle näite 3 lahendanud. -4 sajandit tagasi:

• 32 * 13 (32 jagatud 2-ga ja 13 korrutatud 2-ga)
• 16 * 26 (16 jagatud 2-ga ja 26 korrutatud 2-ga)
• 8 * 52 (jne)
• 4 * 104
• 2 * 208
• 1 * 416 =416

Poolitamine jätkub, kuni jagatis on 1, samal ajal kahekordistades paralleelselt teist arvu. Viimane kahekordistatud number annab soovitud tulemuse. Pole raske mõista, millel see meetod põhineb: toode ei muutu, kui üks tegur poole võrra ja teine ​​kahekordistub. Seetõttu on selge, et selle toimingu korduva kordamise tulemusena saadakse soovitud produkt

Mida aga teha, kui paaritu arv tuleb pooleks jagada? Rahvalik viis pääseb sellest raskusest kergesti välja. See on vajalik, - ütleb reegel, - paaritu arvu korral visake ühik ära ja jagage jääk pooleks; kuid teisest küljest tuleb parempoolse veeru viimasele numbrile lisada kõik selle veeru numbrid, mis seisavad vastu vasakpoolse veeru paaritutele numbritele: summaks saadakse soovitud korrutis. Praktikas tehakse seda nii, et kõik paaris vasakpoolsete numbritega read kriipsutatakse maha; alles jäävad vaid need, mille vasakpoolne arv on paaritu. Siin on näide (tärnid näitavad, et see rida tuleks läbi kriipsutada):

• 19*17
• 4 *68*
• 2 *136*
• 1 *272

Ristimata numbrite liitmisel saame täiesti õige tulemuse:

• 17 + 34 + 272 = 323.

Vastus: 323.

6. India korrutamisviis.

Seda korrutamismeetodit kasutati iidses Indias.

Näiteks 793 korrutamiseks 92-ga kirjutame ühe arvu kordajaks ja selle alla teise teguriks. Navigeerimise hõlbustamiseks võite kasutada ruudustikku (A) viitena.

Nüüd korrutame kordaja vasakpoolse numbri korrutise iga numbriga, see tähendab 9x7, 9x9 ja 9x3. Kirjutame saadud tooted ruudustikule (B), pidades silmas järgmisi reegleid:

• Reegel 1. Esimese korrutise ühikud tuleks kirjutada kordajaga samasse veergu, st antud juhul 9 alla.
• Reegel 2. Järgnev töö tuleb kirjutada nii, et ühikud paigutataks eelmisest tööst vahetult paremale jäävasse veergu.

Korrake kogu protsessi teiste kordaja numbritega, järgides samu reegleid (C).

Seejärel liidame veergudes olevad numbrid ja saame vastuseks: 72956.

Nagu näete, saame suure tööde nimekirja. Indiaanlased, kellel oli suur praktika, kirjutasid iga kujundi mitte vastavasse veergu, vaid võimaluse piires peal. Seejärel liitsid nad veergudes olevad numbrid kokku ja said tulemuse.

Järeldus

Oleme jõudnud uude aastatuhandesse! Inimkonna grandioossed avastused ja saavutused. Me teame palju, saame palju ära teha. Tundub midagi üleloomulikku, et numbrite ja valemite abil saab välja arvutada kosmoselaeva lendu, riigi “majanduslikku olukorda”, ilma “homseks”, kirjeldada nootide kõla meloodias. Teame 4. sajandil eKr elanud Vana-Kreeka matemaatiku, filosoofi – Pythagorase ütlust “Kõik on arv!”.

Selle teadlase ja tema järgijate filosoofilise vaate kohaselt ei juhi numbrid mitte ainult mõõtu ja kaalu, vaid ka kõiki looduses esinevaid nähtusi ning on maailmas valitseva harmoonia olemus, kosmose hing.

Kirjeldades iidseid arvutusmeetodeid ja tänapäevaseid kiirloendamise meetodeid, püüdsin näidata, et nii minevikus kui ka tulevikus ei saa ilma matemaatikata, inimmõistuse loodud teaduseta.

"Kes on lapsepõlvest matemaatikaga tegelenud, see arendab tähelepanu, treenib aju, oma tahet, kasvatab visadust ja visadust eesmärgi saavutamisel."(A.Markuševitš)

Kirjandus.

1. Entsüklopeedia lastele. "T.23". Universaalne entsüklopeediline sõnaraamat \ toim. kolleegium: M. Aksjonova, E. Žuravleva, D. Lury jt - M .: Entsüklopeediate maailm Avanta +, Astrel, 2008. - 688 lk.
2. Ožegov S.I. Vene keele sõnaraamat: u. 57000 sõna / Toim. liige - korr. ANSIR N.Yu. Švedova. - 20. väljaanne - M .: Haridus, 2000. - 1012 lk.
3. Ma tahan kõike teada! The Great Illustrated Encyclopedia of Intelligence / Per. inglise keelest. A. Zykova, K. Malkov, O. Ozerova. – M.: EKMO Kirjastus, 2006. – 440 lk.
4. Sheinina O.S., Solovieva G.M. Matemaatika. Kooliringi klassid 5-6 rakku / O.S. Sheinina, G.M. Solovieva - M .: NTsENASi kirjastus, 2007. - 208 lk.
5. Kordemsky B. A., Akhadov A. A. Hämmastav numbrite maailm: õpilaste raamat, - M. Haridus, 1986.
6. Minskykh E. M. “Mängust teadmisteni”, M., “Valgustumine”, 1982
7. Svechnikov A. A. Numbrid, figuurid, ülesanded M., Valgustus, 1977.
8. http://matsievsky.ru newmail. ru/sys-schi/file15.htm
9. http://sch69.narod. en/mod/1/6506/history. html

teine ​​korrutamismeetod:

Venemaal ei kasutanud talupojad korrutustabeleid, kuid pidasid suurepäraselt mitmekohaliste arvude korrutist.

Venemaal iidsetest aegadest peaaegu kaheksateistkümnendanisajandeid tegid vene inimesed oma arvutustes ilma korrutamiseta jajaotus. Nad kasutasid ainult kahte aritmeetilisi tehteid – liitmist jalahutamine. Veelgi enam, nn "kahekordistamine" ja "kahekordistamine". Agakaubanduse ja muude tootmiseks vajalike tegevuste vajadusedpiisavalt suurte, nii kahe- kui ka kolmekohaliste arvude korrutamine.Selleks oli spetsiaalne viis selliste arvude korrutamiseks.

Vana vene korrutamismeetodi olemus seisneb sellesmis tahes kahe arvu korrutamine taandati järjestikusteks jagamisteksüks arv pooleks (järjestikune bifurkatsioon) samal ajalteise numbri kahekordistamine.

Näiteks kui korrutis 24 ∙ 5 vähendatakse korrutist 24 kahegakorda (double) ja kordaja kahekordistub (double), s.o. võtakorrutis 12 ∙ 10, siis jääb korrutis võrdseks arvuga 120. Seeteose omadust märkasid meie kauged esivanemad ja õppisidrakenda seda arvude korrutamisel oma erilise vana vene keelegakorrutamise viis.

Korrutame sel viisil 32 ∙ 17 ..
32 ∙ 17
16 ∙ 34
8 ∙ 68
4 ∙ 136
2 ∙ 272
1 ∙ 544 Vastus: 32 ∙ 17 = 544.

Analüüsitud näites toimub jagamine kahega - "bifurkatsioon".jäljetult. Aga mis siis, kui tegur ei jagu kahega ilma jäägita? JAsee tundus olevat iidsete kalkulaatorite käeulatuses. Sel juhul tegid nad seda järgmiselt:
21 ∙ 17
10 ∙ 34
5 ∙ 68
2 ∙ 136
1 ∙ 272
357 Vastus: 357.

Näide näitab, et kui korrutis ei jagu kahega, siis sellestkõigepealt lahutasid nad ühe, seejärel jagati tulemus kaheks, ”ja nii5 lõpuni. Seejärel kustutati kõik paariskordajatega read (2., 4.,6. jne) ning ülejäänud ridade kõik õiged osad lisati ja saadisoovitud tööd.

Kuidas muistsed kalkulaatorid oma meetodit põhjendasidarvutused? Niimoodi: 21 ∙ 17 = 20 ∙ 17 + 17.
Arv 17 jäetakse meelde ja korrutis 20 ∙ 17 = 10 ∙ 34 (kahekordistades -topelt) ja kirjuta. Toode 10 ∙ 34 = 5 ∙ 68 (kahekordistades -topelt) ja kriipsutage läbi lisatoode 10∙34. Alates 5 * 34= 4 ∙ 68 + 68, siis jäetakse meelde number 68, s.t. kolmas rida pole läbi kriipsutatud, vaid4 ∙ 68 = 2 ∙ 136 = 1 ∙ 272 (kahekordistamine - kahekordistamine), samas kui neljasrida, mis sisaldab justkui lisatoodet 2 ∙ 136, tõmmatakse läbi janumber 272 on meeles. Nii selgub, et 21 korrutamiseks 17-ga,peate lisama numbrid 17, 68 ja 272 - see on täpselt ridade võrdsed osadpaaritute kordajatega.
Vene korrutamisviis on ühtaegu elegantne ja ekstravagantne

Juhin teie tähelepanu kolmele näitele värvilistel piltidel (paremas ülanurgas test postitus).

Näide nr 1: 12 × 321 = 3852
Me joonistame esimene numberülalt alla, vasakult paremale: üks roheline pulk ( 1 ); kaks apelsinipulka ( 2 ). 12 joonistas.
Me joonistame teine ​​number alt üles, vasakult paremale: kolm sinist pulka ( 3 ); kaks punast 2 ); üks sirel ( 1 ). 321 joonistas.

Nüüd kõnnime lihtsa pliiatsiga mööda joonist, jagame pulganumbrite ristumispunktid osadeks ja jätkame punktide loendamisega. Liikumine paremalt vasakule (päripäeva): 2 , 5 , 8 , 3 . arv-tulemus me “kogume” vasakult paremale (vastupäeva) ja ... voilaa, saime 3852

Näide nr 2: 24 × 34 = 816
Sellel näitel on nüansid. Esimeses osas punkte kokku lugedes selgus 16 . Saadame ühe ja lisame selle teise osa punktidesse ( 20 + 1 )…

Näide nr 3: 215 × 741 = 159315
Kommentaarid puuduvad

Alguses tundus see mulle kuidagi pretensioonikas, aga samas intrigeeriv ja üllatavalt harmooniline. Viiendas näites tabasin end mõttelt, et korrutis lendab ja töötab autopiloodi režiimis: joonista, loe punkte, me ei mäleta korrutustabelit, tundub, et me ei tea seda üldse.

Ausalt öeldes kontrollides korrutamise joonistamise meetod ja liikudes veeruga korrutamisele ja rohkem kui üks või kaks korda, märkasin oma häbiks mõningaid aeglustusi, mis näitasid, et mu korrutustabel oli mõnes kohas roostetanud ja te ei tohiks seda unustada. Kui töötate "tõsisemate" numbritega korrutamise joonistamise meetod muutus liiga tülikaks ja veeruga korrutamine läks rõõmuks.

P.S.: Au ja kiitus põlissambale!
Konstruktsiooni poolest on meetod tagasihoidlik ja kompaktne, väga kiire, mälurongid – korrutustabel ei lase end unustada.

Ja seetõttu soovitan tungivalt teil ja endal võimalusel unustada kalkulaatorid telefonides ja arvutites; ja tegelege perioodiliselt veeruga korrutamisega. Muidu pole tund ühtlane ja filmi "Rise of the Machines" süžee rullub lahti mitte kinolinal, vaid meie köögis või maja kõrval muruplatsil ...


Kolm korda sisse vasak õlg..., koputage puidule ... ... ja mis kõige tähtsam Ärge unustage vaimuvõimlemist!

ÕPI KORRUTAbelit!!!

MBOU "Keskkool koos. Volnoe, Kharabalinsky piirkond, Astrahani piirkond

Projekt teemal:

« Ebatavalised paljunemisviisidja mina»

Tehtud tööd:

5. klassi õpilased :

Tuleševa Amina,

Sultanov Samat,

Kuyanguzova Rasita.

R projektijuht:

matemaatika õpetaja

Fateeva T.V.

Volnoe 201 6 aastal .

"Kõik on number" Pythagoras

Sissejuhatus

21. sajandil on võimatu ette kujutada inimese elu, kes ei tee arvutusi: need on müüjad ja raamatupidajad ja tavalised koolilapsed.

Peaaegu iga aine õppimine koolis eeldab häid matemaatikateadmisi ja ilma selleta on neid aineid võimatu omandada. Matemaatikas domineerivad kaks elementi - arvud ja arvud koos nende lõpmatu mitmekesisusega omadustega ja nendega seotud toimingutega.

Tahtsime rohkem teada saada matemaatiliste operatsioonide ajaloost. Nüüd, kui arvutustehnika kiiresti areneb, ei taha paljud peastarvutamisega vaeva näha. Seetõttu otsustasime näidata mitte ainult seda, et toimingute sooritamise protsess võib olla huvitav, vaid ka seda, et pärast kiire loendamise meetodite hästi omandamist saab arvutiga vaielda.

Antud teema aktuaalsus seisneb selles, et mittestandardsete meetodite kasutamine arvutusoskuste kujundamisel tõstab õpilastes huvi matemaatika vastu ja aitab kaasa matemaatikavõimete arengule.

Töö eesmärk:

JAõppida tundma mõnda mittestandardset korrutamistehnikat ja näidata, et nende rakendamine muudab arvutusprotsessi ratsionaalseks ja huvitavaksja mille arvutamiseks piisab peast loendamisest või pliiatsi, pliiatsi ja paberi kasutamisest.

Hüpotees:

EKui meie esivanemad teadsid, kuidas vanal viisil paljuneda, siis kas kaasaegne õpilane saab selle probleemi kohta kirjandust uurides seda õppida või on vaja mingeid üleloomulikke võimeid.

Ülesanded:

1. Leia ebatavalised viisid korrutamiseks.

2. Õppige neid rakendama.

3. Vali enda jaoks koolis pakutavatest huvitavamad või lihtsamad ning kasuta neid loendamisel.

4. Õpetage klassikaaslasi uut rakendamaeteeskorrutamine.

Õppeobjekt: matemaatikatehte korrutamine

Õppeaine: korrutamismeetodid

Uurimismeetodid:

Otsingumeetod kasutades teaduslikku ja õppekirjandus, Internet;

Uurimismeetod korrutamismeetodite määramisel;

Praktiline meetod näidete lahendamisel;

- - vastajate küsitlemine mittestandardsete korrutamismeetodite teadmiste kohta.

Ajalooline viide

On erakordsete võimetega inimesi, kes vaimsete arvutuste kiiruses suudavad arvutitega võistelda. Neid nimetatakse "imeloenduriteks". Ja selliseid inimesi on palju.

Väidetavalt lisas Gaussi isa nädala lõpus oma töötajatele palka makstes iga päeva ületunnitöötasule lisatasu. Ühel päeval, kui Gaussi isa oli oma arvutused lõpetanud, hüüatas 3-aastane laps, kes vaatas oma isa operatsioone: “Issi, arvutus ei ole õige! Nii palju see peaks olema!” Arvutamist korrati ja üllatusena nähti, et poiss oli märkinud õige summa.

Venemaal säras 20. sajandi alguses oma oskustega "arvutuste võlur" Roman Semenovitš Levitan, kes on tuntud Arrago pseudonüümi all. Ainulaadsed võimed hakkasid poisis ilmnema juba aastal varajane iga. Mõne sekundiga pani ta ruutudesse ja kuubita kümnekohalisi arve, eraldades erineva astme juured. Näis, et ta tegi seda kõike erakordse kergusega. Kuid see kergus oli petlik ja nõudis palju ajutööd.

2007. aastal hämmastas Mark Vishnya, kes oli siis 2,5-aastane, kogu riiki oma intellektuaalsete võimetega. Saates "Hiilguse minut" luges nooruke osaleja mõttes hõlpsalt kokku mitmekohalisi numbreid, edestades oma vanemaid ja arvutustes kalkulaatoreid kasutanud žüriid. Kaheaastaselt valdas ta koosinuste ja siinuste tabelit ning mõningaid logaritme.

Ukraina Teaduste Akadeemia Küberneetika Instituudis peeti arvuti- ja inimvõistlusi. Konkursil osalesid noor kontrafenomen Igor Šeluškov ja ZVM "Mir". Masin tegi mõne sekundiga palju keerulisi operatsioone, kuid võitjaks osutus Igor Šeluškov.

Indias Sydney ülikoolis toimus ka inimese ja masina võistlus. Shakuntala Devi oli ka arvutist ees.

Enamikul neist inimestest on suurepärane mälu ja tal on talent. Kuid mõnel neist pole matemaatika jaoks erilisi võimeid. Nad teavad saladust! Ja see saladus seisneb selles, et nad on omandanud kiirloendamise võtted, pähe õppinud mitu spetsiaalset valemit. See tähendab, et ka meie saame neid tehnikaid kasutades kiiresti ja täpselt arvutada.

Praegu kasutatavad arvutusmeetodid ei olnud alati nii lihtsad ja mugavad. Vanasti kasutati tülikamaid ja aeglasemaid meetodeid. Ja kui 21. sajandi koolipoiss saaks reisida viis sajandit tagasi, avaldaks ta meie esivanematele muljet oma arvutuste kiiruse ja täpsusega. Kuulujutt temast oleks levinud ümberkaudsetes koolides ja kloostrites, varjutades tolle ajastu osavamate lettide hiilguse ja uue suure meistri juurde oleks tulnud kõikjalt õppima.

Eriti rasked olid vanasti korrutamise ja jagamise toimingud. Sel ajal ei olnud iga tegevuse jaoks välja töötatud ühte tehnikat.

Vastupidi, korraga oli kasutusel ligi kümmekond erinevat korrutamis- ja jagamismeetodit – üks keerulisem kui teine, mida keskmise võimekusega inimene ei mäletanudki. Iga arvutamise õpetaja hoidis kinni oma lemmikmeetodist, iga "jagamismeister" (oli selliseid spetsialiste) kiitis oma viisi selle toimingu sooritamiseks.

V. Bellyustini raamatus “Kuidas inimesed järk-järgult jõudsid tõelise aritmeetikani” on välja toodud 27 korrutamismeetodit ja autor märgib: “On täiesti võimalik, et raamatuhoidlate süvendites on peidus rohkem meetodeid, mis on hajutatud paljudes , peamiselt käsitsi kirjutatud kogud.

Ja kõik need korrutamistehnikad - "male või orel", "painutamine", "rist", "võre", "tagasi ette", "teemant" ja teised võistlesid omavahel ja assimileeriti suurte raskustega.

Vaatame kõige huvitavamaid ja lihtsamaid korrutamisviise.

Vana vene korrutamise meetod sõrmedel

See on üks levinumaid meetodeid, mida Venemaa kaupmehed on sajandeid edukalt kasutanud.

Selle meetodi põhimõte: ühekohaliste arvude korrutamine sõrmedel 6-st 9-ni. Sõrmed toimisid siin abistava arvutusseadmena.

Selleks sirutasid nad ühelt poolt nii palju sõrmi, kuivõrd esimene tegur ületab arvu 5, ja teiselt poolt tegid nad sama teise teguri puhul. Ülejäänud sõrmed olid kõverdatud. Seejärel võeti väljasirutatud sõrmede arv (kokku) ja korrutati 10-ga, seejärel korrutati numbrid, mis näitavad, mitu sõrme oli kätel kõverdatud, ja liideti tulemused.

Näiteks korrutame 7 8-ga. Vaadeldavas näites painutatakse 2 ja 3 sõrme. Kui liita kokku painutatud sõrmede arv (2+3=5) ja korrutada painutamata sõrmede arv (2 3=6), siis saame soovitud korrutise kümnendite ja ühikute arvud vastavalt 56 . Nii saate arvutada kõigi ühekohaliste arvude korrutise, mis on suuremad kui 5.

Numbri 9 jaoks on väga lihtne reprodutseerida "sõrmedel" korrutamist

Ratähedneedsõrmed mõlemal käel ja pöörake oma käed peopesad endast eemale. Määrake vaimselt sõrmedele järjestuses numbrid vahemikus 1 kuni 10, alustades vasaku käe väikesest sõrmest ja lõpetades väikese sõrmega parem käsi. Oletame, et tahame 9 korrutada 6-ga. Painutame sõrme, mille arv on võrdne arvuga, millega üheksa korrutame. Meie näites peate painutama sõrme numbriga 6. Painutatud sõrmest vasakul olevate sõrmede arv näitab meile vastuses kümnete arvu, paremal olevate sõrmede arvu - ühikute arvu. Vasakul on 5 sõrme painutamata, paremal - 4 sõrme. Seega 9 6=54.

9-ga korrutamine, kasutades märkmiku lahtreid

Võtke näiteks märkmikus 10 lahtrit. Tõmbame 8. lahtri maha. Vasakul on 7 lahtrit, paremal 2 lahtrit. Seega 9 8=72. Kõik on väga lihtne!

7 2

Korrutamismeetod "Väike loss"

“Väikese lossi” korrutamismeetodi eeliseks on see, et kõige kõrgemate numbrite numbrid määratakse algusest peale ja see võib olla oluline, kui on vaja väärtust kiiresti hinnata.Ülemise arvu numbrid, alustades kõige olulisemast numbrist, korrutatakse vaheldumisi alumise numbriga ja kirjutatakse veergu, lisades vajaliku arvu nulle. Seejärel liidetakse tulemused kokku.

"võre korrutamine"

Kõigepealt joonistatakse ristkülik, mis on jagatud ruutudeks ja ristküliku külgede mõõtmed vastavad kordaja ja kordaja kümnendkohtade arvule.

Seejärel jagatakse ruudukujulised lahtrid diagonaalselt ja “... saad pildi, mis näeb välja nagu võre luugid. Sellised aknaluugid riputati Veneetsia majade akendele ... "

"Vene talurahva viis"

Venemaal oli talupoegade seas levinud meetod, mis ei nõudnud kogu korrutustabeli tundmist. Kõik, mida vajate, on võime arvud 2-ga korrutada ja jagada.

Kirjutame ühele reale ühe numbri vasakule ja teise paremale. Jagame vasakpoolse arvu 2-ga, korrutame parema arvu 2-ga ja kirjutame tulemused veergu.

Kui jagamisel tekib jääk, siis see visatakse ära. Korrutamist ja 2-ga jagamist jätkake, kuni vasakule jääb 1.

Seejärel kriipsutame veerust välja need read, milles vasakul on paarisarvud. Nüüd lisame parempoolsesse veergu ülejäänud numbrid.

See korrutamismeetod on palju lihtsam kui varem käsitletud korrutamismeetodid. Kuid see on ka väga mahukas.

"Ristiga korrutamine"

Vanad kreeklased ja hindud nimetasid ristkorrutamise meetodit "välgumeetodiks" või "ristiga korrutamiseks".

24 ja 32

2 4

3 2

4x2=8 - tulemuse viimane number;

2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6 - tulemuse eelviimane number, mäleta ühikut;

2x3=6 ja isegi numbrit silmas pidades on meil 7 – see on tulemuse esimene number.

Saame kõik toote numbrid: 7,6,8. Vastus:768.

India korrutamise viis

546 7

5 7=35 35

350+ 4 7=378 378

3780 + 6 7=3822 3822

546 7= 3822

Selle meetodi aluseks on idee, et sama number tähistab ühikuid, kümneid, sadu või tuhandeid, olenevalt sellest, kus see arv asub. Numbrite puudumisel määratakse hõivatud koht numbritele määratud nullidega.

KellAlustame korrutamist kõrgeimast järjekorrast ja kirjutame vähehaaval üles mittetäielikud korrutised korrutise kohale. Sel juhul on koheselt näha kogu toote kõige olulisem number ja lisaks on välistatud ühegi numbri väljajätmine. Korrutamismärki polnud veel teada, mistõttu jäeti tegurite vahele väike vahemaa

Hiina (joonistus) korrutamise viis

Näide nr 1: 12 × 321 = 3852
Me joonistameesimene number ülalt alla, vasakult paremale: üks roheline pulk (1 ); kaks apelsinipulka (2 ). 12 maalitud
Me joonistameteine ​​number alt üles, vasakult paremale: kolm sinist pulka (3 ); kaks punast2 ); üks sirel (1 ). 321 maalitud

Nüüd liigume lihtsa pliiatsiga mööda joonist, jagame pulganumbrite ristumispunktid osadeks ja jätkame punktide loendamisega. Liikumine paremalt vasakule (päripäeva):2 , 5 , 8 , 3 . arv-tulemus me "kogume" vasakult paremale (vastupäeva), mille saime3852

Näide nr 2: 24 × 34 = 816
Selles näites on nüansse ;-) Esimeses osas punkte lugedes selgus16 . Üks saada-lisa teise osa punktidele (20 + 1 )…

Näide nr 3: 215 × 741 = 159315

Projekti kallal töötamise ajal viisime läbi küsitluse. Õpilased vastasid järgmistele küsimustele.

1. Kas tänapäeva inimene vajab suulist kontot?

JahEi

2. Kas teate peale veeruga korrutamise ka muid korrutamisviise?

JahEi

3. Kas sa kasutad neid?

JahEi

4. Kas soovite teada muid võimalusi korrutamiseks??

Mitte päris

Küsitlesime 5.-10. klassi õpilasi.

See uuring näitas, et kaasaegsed koolilapsed ei tea muid toimingute sooritamise viise, kuna nad pöörduvad harva kooli õppekavaväliste materjalide poole.

Järeldus:

Matemaatika ajaloos on palju huvitavaid sündmusi ja avastusi, kahjuks ei jõua kogu see info meieni, tänapäeva õpilasteni.

Selle tööga soovisime seda tühimikku vähemalt natuke täita ja edastada oma kaaslastele teavet iidsete korrutamismeetodite kohta.

Robotite käigus saime teada korrutamistoimingu päritolu. Vanasti polnud selle toimingu valdamine lihtne, siis, nagu praegu, polnud veel üht praktikaga välja töötatud meetodit. Vastupidi, korraga oli kasutusel ligi kümmekond erinevat korrutamismeetodit – üksteisest keerulisemad, kindlamad meetodid, mida keskmise võimekusega inimene ei mäletanudki. Iga arvutamise õpetaja jäi oma lemmiktehnika juurde, iga "meister" (oli selliseid spetsialiste) kiitis oma viisi selle toimingu sooritamiseks. Tõdeti isegi, et mitmekohaliste arvude kiire ja veatu korrutamise kunsti valdamiseks on vaja erilist loomulikku annet, erakordseid võimeid; see tarkus pole tavainimestele kättesaadav.

Oleme oma tööga tõestanud, et meie hüpotees on õige, iidsete korrutamismeetodite kasutamiseks ei pea olema üleloomulikke võimeid. Ja õppisime ka materjali valima, töötlema ehk peamise esile tõstma ja süstematiseerima.

Olles õppinud loendama kõigil esitatud viisidel, jõudsime järeldusele, et kõige lihtsamad on need, mida me koolis õpime, või võib-olla oleme lihtsalt nendega harjunud.

Kaasaegne viis korrutamine on lihtne ja kõigile kättesaadav.

Kuid me arvame, et meie veerus korrutamise meetod ei ole täiuslik ja saame välja pakkuda veelgi kiiremaid ja usaldusväärsemaid meetodeid.

Võimalik, et esimesel korral ei suuda paljud neid või muid arvutusi kiiresti liikvel olles teha.

Pole probleemi. Vajalik on pidev arvutiõpe. See aitab teil arendada kasulikke vaimse loendamise oskusi!

Bibliograafia

1. Glazer, G. I. Matemaatika ajalugu koolis ⁄ G. I. Glazer ⁄⁄ Matemaatika ajalugu koolis: juhend õpetajatele ⁄ toimetanud V. N. Molodshiy. - M .: Haridus, 1964. - S. 376.

Perelman Ya. I. Meelelahutuslik aritmeetika: mõistatused ja kurioosumid numbrite maailmas. - M .: Rusanovi kirjastus, 1994. - S. 142.

Entsüklopeedia lastele. T. 11. Matemaatika / Peatükk. toim. M. D. Aksenova. - M .: Avata +, 2003. - S. 130.

Ajakiri "Matemaatika" №15 2011

Interneti-ressursid.

Mincheva Anna, Ulan-Ude MAOU 37. keskkooli 6. klassi õpilane

Kaasaegse pidev kasutamine arvutiteadus toob kaasa asjaolu, et õpilastel on raske teha arvutusi ilma tabelite või arvutusmasinata. Teema asjakohasus uurimistöö seisneb selles, et lihtsustatud arvutustehnikate tundmine võimaldab mitte ainult peas lihtsaid arvutusi kiiresti sooritada, vaid ka mehhaniseeritud arvutuste tulemusena kontrollida, hinnata, leida ja parandada vigu. Lisaks arendab arvutusoskuste arendamine mälu, tõstab matemaatilise mõtlemiskultuuri taset, aitab täielikult assimileerida füüsilise ja matemaatilise tsükli aineid.

Lae alla:

Eelvaade:

MAOU "Keskkool nr 37"

Teaduslik-praktiline konverents "Tavaline ime"

Jaotis: Aritmeetika

"Erinevad korrutamisviisid: antiikajast tänapäevani"

Esitatud:

Mincheva, Anna

6. klassi õpilane

Juhendaja:

Koneva Galina Mihhailovna,

matemaatika õpetaja,

"Vene Föderatsiooni hariduse tipptase",

Venemaa parimate õpetajate konkursi võitja (2009)

Ulan-Ude

2017

Ülevaade.

Usun, et üliõpilane on teinud suurepärast tööd ja see aruanne pakub huvi matemaatikahuvilistele õpilastele, tulevastele majandusteadlastele.

Kõrgeima kategooria õpetaja: Koneva G.M.

Plaan.

1. Sissejuhatus

2. Põhiosa. Naturaalarvude korrutamise viisid

2.1. Ristkorrutamise vastuvõtt kahekohaliste arvudega töötamisel

2.2. Korrutamine meetodil "Armukadedus ehk võre korrutamine"

2.3. Korrutamine "Väikese lossi" meetodil

2.4. Talupoeglik korrutamisviis

2.5. India korrutamise viis

2.6.Geomeetriline korrutamismeetod

2.7. Algne viis sõrmedel 9-ga korrutamiseks

2.8 Okoneshnikovi meetod

3.Järeldus

“Matemaatika teema on nii tõsine
mida on kasulik mitte kasutamata jätta võimalusi teha
see on natuke lõbus." B. Pascal

1. Sissejuhatus.

Inimesel on igapäevaelus võimatu ilma arvutusteta hakkama saada. Seetõttu õpetatakse meid matemaatikatundides arvudega tehteid sooritama ehk loendama. Korrutame, jagame, liidame ja lahutame kõigile koolis õpitavatele tavapärastel viisidel.

Ühes tunnis näitas matemaatikaõpetaja, kuidas saab näiteks arvu 23 korrutada 11-ga. Selleks tuleb numbrid 2 ja 3 mõtteliselt teineteisest lahti lükata ning panna number 5 sellesse kohta, et on arvude 2 ja 3 summa. Selgus arv 253. Tundsin, et ei tea, kas on veel mingeid arvutamisviise. Lõppude lõpuks on kiire arvutuste tegemise võimalus ausalt öeldes üllatav.

Kaasaegse arvutustehnoloogia pidev kasutamine toob kaasa asjaolu, et õpilastel on raske teha mingeid arvutusi, kui neil pole käsutuses tabeleid või arvutusmasinat.Teema asjakohasusuurimistöö seisneb selles, et lihtsustatud arvutustehnikate tundmine võimaldab mitte ainult peas lihtsaid arvutusi kiiresti sooritada, vaid ka mehhaniseeritud arvutuste tulemusena kontrollida, hinnata, leida ja parandada vigu. Lisaks arendab arvutusoskuste arendamine mälu, tõstab matemaatilise mõtlemiskultuuri taset, aitab täielikult assimileerida füüsilise ja matemaatilise tsükli aineid.

Töö eesmärk:

Uurige ja õppige ebatavalisi korrutamisviise.

Uurimise eesmärgid:

1. Leidke võimalikult palju ebatavalisi arvutusviise.

2. Õppige neid rakendama.

3. Vali enda jaoks koolis pakutavatest huvitavamad või lihtsamad ning kasuta neid loendamisel.

4. Õpetage klassikaaslastele erinevaid korrutamismeetodeid, korraldage võistlus – matemaatiline lahing klassivälises tegevuses.

Uurimismeetodid:

Otsingumeetod teadus- ja õppekirjanduse, Interneti abil;

Uurimismeetod korrutamismeetodite määramisel;

Praktiline meetod näidete lahendamisel.

II. Arvutuspraktika ajaloost

Praegu kasutatavad arvutusmeetodid ei olnud alati nii lihtsad ja mugavad. Vanasti kasutati tülikamaid ja aeglasemaid meetodeid. Ja kui 21. sajandi koolipoiss saaks reisida viis sajandit tagasi, avaldaks ta meie esivanematele muljet oma arvutuste kiiruse ja täpsusega.

Eriti rasked olid vanasti korrutamise ja jagamise toimingud. Sel ajal ei olnud iga tegevuse jaoks välja töötatud ühte tehnikat. Vastupidi, korraga oli kasutusel ligi kümmekond erinevat korrutamis- ja jagamismeetodit – üks keerulisem kui teine, mida keskmise võimekusega inimene ei mäletanudki. Iga loendamisõpetaja pidas kinni oma lemmiktehnikast, iga "jagamismeister" kiitis oma viisi seda tegevust teha.

V. Bellyustini raamatus “Kuidas inimesed järk-järgult jõudsid tõelise aritmeetikani” on välja toodud 27 korrutamismeetodit ja autor märgib: “On täiesti võimalik, et raamatuhoidlate süvendites on peidus rohkem meetodeid, mis on hajutatud paljudes , peamiselt käsitsi kirjutatud kogud.

Ja kõik need korrutamistehnikad - "male või orel", "painutamine", "rist", "võre", "tagasi ette", "teemant" ja teised võistlesid omavahel ja assimileeriti suurte raskustega.

Hakkasin mõnda neist meetoditest uurima ja uurima ning valisin välja kõige huvitavamad.

III. Erinevad viisid paljundamiseks.

3.1.Ristkorrutamise meetod kahekohaliste arvudega töötamisel

Vanad kreeklased ja hindud nimetasid ristkorrutamise meetodit "välgumeetodiks" või "ristiga korrutamiseks".

Näide: 52 x 23 = 1173 5 1

Teostame järjestikku järgmisi toiminguid:

1. 1 x 3 = 3 on tulemuse viimane number.

2. 5 x 3 = 15; 1x 2 = 2; 15 + 2 = 17.

7 - vastuse eelviimane number, mäletame ühikut.

3. 5 x 2 \u003d 10, 10 + 1 \u003d 11 – need on vastuse esimesed numbrid.

Vastus: 1173.

3.2. Luca Pacioli iidne viis: "Armukadedus või võre korrutamine"

Matemaatika arengu aastatuhandete jooksul on leiutatud palju korrutamismeetodeid. Välja arvatud korrutustabel, on need kõik mahukad, keerulised ja raskesti meeldejäävad. Usuti, et kiire korrutamise kunsti valdamiseks on vaja erilist loomulikku annet. Tavalised inimesed, kellel pole erilist matemaatilist annet, pole see kunst saadaval.

Korrutame arvu 987 arvuga 1998.

Joonistame ristküliku, jagame selle ruutudeks, jagame ruudud diagonaalselt. Tulemuseks on pilt, mis sarnaneb Veneetsia majade võre aknaluugidega. Siit tuleneb ka meetodi nimi.

Tabeli ülaossa kirjutame numbri 987 ja alt vasakult üles - 1998 (joonis 1).

Igasse ruutu kirjutame selle ruuduga samas reas asuvate arvude ja ühe veeru korrutise. Kümned asuvad alumises kolmnurgas ja ühed ülemises kolmnurgas. Numbrid liidetakse piki iga diagonaali. Tulemused on kirjutatud tabelist paremale ja vasakule .

Riis. 1 "Armukadedus ehk võre korrutis."

Vastus: 1972026.

3.3. Veel üks Luca Pacioli viis: "Väike loss"

Üks arv kirjutatakse teise alla nagu veeru korrutamisel (joonis 2). Seejärel korrutatakse ülemise arvu numbrid kordamööda alumise numbriga, alustades kõige olulisemast numbrist ja lisades iga kord vajalik arv nulle.

Saadud arvud liidetakse kokku.

Riis. 2 "Väike loss"

Vastus: 1972026.

Järeldus:

Võrdleme nende kahe meetodiga arvude 987 ja 1998 korrutamisel saadud tulemusi. Vastused on 1972026.

Ilmselgelt on need iidsed korrutamismeetodid tõesti väga keerulised ja nõuavad korrutustabeli tundmist.

3.4. Vene talupoja korrutamise viis

Venemaal oli talupoegade seas levinud meetod, mis ei nõudnud kogu korrutustabeli tundmist. Kõik, mida vajate, on võime arvud 2-ga korrutada ja jagada.

Kirjutame ühele reale ühe numbri vasakule ja teise paremale (joonis 3). Jagame vasakpoolse arvu 2-ga, korrutame parema arvu 2-ga ja kirjutame tulemused veergu.

Kui jagamisel tekib jääk, siis see visatakse ära. Korrutamist ja 2-ga jagamist jätkake, kuni vasakule jääb 1.

Seejärel kriipsutame veerust välja need read, milles vasakul on paarisarvud. Nüüd lisame parempoolsesse veergu ülejäänud numbrid.

Riis. 3 "Vene talupoja viis"

Vastus: 1972026.

Järeldus: see korrutamismeetod on palju lihtsam kui Luca Pacioli varem käsitletud korrutamismeetodid. Kuid see on ka väga mahukas.

3.5. India korrutamise viis

Kõige väärtuslikum panus matemaatiliste teadmiste varakambrisse anti Indias. Hindud pakkusid välja viisi, kuidas me kasutame numbrite kirjutamiseks kümmet märki: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Selle meetodi aluseks on idee, et sama number tähistab ühikuid, kümneid, sadu või tuhandeid, olenevalt sellest, kus see arv asub. Numbrite puudumisel määratakse hõivatud koht numbritele määratud nullidega.

Indiaanlased arvasid hästi. Nad mõtlesid välja väga lihtsa viisi korrutamiseks. Nad sooritasid korrutamise, alustades kõrgeimast järjekorrast, ja kirjutasid mittetäielikud korrutised üles korrutise kohale, osade kaupa. Samas oli kohe näha ka terviktoote vanem number ja lisaks oli välistatud ühegi numbri ärajätmine. Korrutamismärki polnud veel teada, mistõttu jätsid nad tegurite vahele väikese vahemaa. Näiteks korrutame need viisil 537 6-ga:

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222. Vastus: 3222

3.6. Geomeetriline korrutamise meetod

Selle meetodi puhul kasutatakse geomeetrilist kujundit – ringi.

Esiteks vaatame seda meetodit näitega. Korrutame näiteks arvu 13 24-ga.

1) Joonistame ringid. Kuna esimene tegur on kahekohaline arv, siis kaks rida; teine ​​kordaja on samuti kahekohaline arv, seejärel kaks veergu. Kuna kümnete arv esimeses teguris on 1, siis esimesele reale tõmbame ühe ringi, see tähendab, et me ei muuda midagi. Kuna esimese teguri ühikute arv on 3, siis joonistame teisele reale kolm ringi. (joonis 4).

Riis. 4

2) Teine tegur on arv 24, seejärel ringid, mis on esimeses veerus jagatud kaheks osaks ja ringid, mis on jagatud neljaks osaks teises veerus

(joonis 5).

Riis. 5

3) Joonistame sirgeid ja loeme punktid (joon. 6).

Riis. 6 Joon. 7

Vastus kirjutatakse järgmiselt (joon. 7), vaatame alt üles, et punktide arv on 12, 2 on tulemuse viimane number, mõttes üks, teise ala punktide arv on 10 ja +1, see on 11, kirjutame mõttes 1 ja 1, punktide arv kolmandas piirkonnas 2 ja +1, kokku 3. Vastus: 312.

Lahendasin nii palju näiteid. Seejärel üldistas ta konkreetseid näiteid jategi reegli:

1. Joonista ringid. Esimese kordaja numbrite arv näitab ridade arvu ja numbrite arv teises teguris näitab veergude arvu.

Kui arv sisaldab 0, tõmmatakse nulli tähistav ring punktiirjoonega. See on kujuteldav joon, sellel pole punkte.

2. Esimese kordaja esimene number tähendab kontsentriliste ringide arvu esimesel real, esimese kordaja teine ​​number teise rea ringide arvu.

3. Teise kordaja numbrid näitavad, mitmeks osaks tuleb ringid jagada: esimene number on esimese veeru jaoks, teine ​​number on teise jaoks jne.

4. Jagame ringid osadeks. Me paneme igasse osasse punkti.

6. Vastuse kirjutame üles vastavalt näites vaadeldud põhimõttele.

3.6. Algne viis sõrmedel 9-ga korrutamiseks

Arvu 9 korrutamine- 9 1, 9 2 ... 9 10 - on lihtsam mälust kustutada ja keerulisem käsitsi ümber arvutada liitmise teel, kuid just numbri 9 puhul on korrutamine hõlpsasti reprodutseeritav "sõrmedel". Siruta sõrmed mõlemale käele laiali ja keera peopesad endast eemale. Määrake vaimselt sõrmedele numbrid vahemikus 1 kuni 10, alustades vasaku käe väikesest sõrmest ja lõpetades parema käe väikese sõrmega (see on näidatud joonisel).

Oletame, et tahame 9 korrutada 6-ga. Painutame sõrme, mille arv on võrdne arvuga, millega üheksa korrutame. Meie näites peate painutama sõrme numbriga 6. Painutatud sõrmest vasakul olevate sõrmede arv näitab meile vastuses kümnete arvu, paremal olevate sõrmede arvu - ühikute arvu. Vasakul on 5 sõrme painutamata, paremal - 4 sõrme. Seega 9 6=54. Allolev joonis näitab üksikasjalikult kogu "arvutamise" põhimõtet.

3.7.Okonešnikovi kaasaegne meetod

huvitav uus korrutamisviis, millest hiljuti teatati. Leiutaja uus süsteem suulisest arvutamisest, filosoofiadoktor Vassili Okoneshnikov väidab, et inimene suudab tohutul hulgal teavet meelde jätta, peaasi, kuidas seda teavet korraldada. Teadlase enda sõnul on üheksa kümnendkoha süsteem selles osas kõige soodsam – kõik andmed on lihtsalt paigutatud üheksasse lahtrisse, mis on paigutatud kalkulaatori nuppudena.

Sellise tabeli järgi on väga lihtne kokku lugeda. Näiteks korrutame arvu 15647 5-ga. Tabeli viiele vastavas osas valime järjekorras numbri numbritele vastavad arvud: üks, viis, kuus, neli ja seitse. Saame: 05 25 30 20 35

Vasak number (meie näites null) jäetakse muutmata ja paarikaupa lisatakse järgmised numbrid: viis kahega, viis kolmega, null kahega, null kolmega. Ka viimane number on muutumatu.

Selle tulemusena saame: 078235. Arv 78235 on korrutamise tulemus.

Kui kahe numbri liitmisel saadakse arv, mis ületab üheksat, lisatakse selle esimene number tulemuse eelmisele numbrile ja teine ​​kirjutatakse selle asemele.

III. Järeldus.

Kõigist leitud ebatavalistest loendusmeetoditest tundus kõige huvitavam meetod „võrekorrutamine või armukadedus”. Näitasin seda oma klassikaaslastele ja ka neile meeldis see väga.

Lihtsaim meetod tundus mulle vene talupoegade poolt kasutatav kahekordistamise ja poolitamise meetod. Kasutan seda mitte liiga suurte arvude korrutamisel (kahekohaliste arvude korrutamisel on väga mugav kasutada).

Mind huvitas uus korrutamisviis, sest see võimaldab mõtetes tohutuid numbreid "keerata".

Ma arvan, et ka meie veeruga korrutamise meetod ei ole täiuslik ning me saame välja mõelda veelgi kiiremaid ja usaldusväärsemaid meetodeid.

Kirjandus.

Kirjandus.

Depman I. "Lugusid matemaatikast". - Leningrad.: Haridus, 1954. - 140 lk.

Korneev A.A. Vene korrutamise fenomen. Lugu. http://numbernautics.ru/

Olehnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. "Vanad meelelahutuslikud probleemid." – M.: Teadus. Füüsikalise ja matemaatilise kirjanduse põhiväljaanne, 1985. - 160 lk.

Perelman Ya.I. Kiire konto. Kolmkümmend lihtsat vaimse loendamise meetodit. L., 1941 - 12 lk.

Perelman Ya.I. Meelelahutuslik aritmeetika. M.Rusanova, 1994-205lk.

Entsüklopeedia “Ma tunnen maailma. Matemaatika". – M.: Astrel Ermak, 2004.

Entsüklopeedia lastele. "Matemaatika". - M.: Avanta +, 2003. - 688 lk.