A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek az egyenletek

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

Egyenlet cos(x) = a

Magyarázat és indoklás

1. A cosx = a egyenlet gyökei. Mikor | a | > 1 az egyenletnek nincs gyöke, mert | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 vagy a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Legyen | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Az intervallumon az y = cos x függvény 1-ről -1-re csökken. De egy csökkenő függvény minden egyes értékét a definíciós tartományának csak egy pontján veszi fel, ezért a cos x \u003d a egyenletnek csak egy gyöke van ezen az intervallumon, amely az arc koszinusz definíciója szerint: x 1 \u003d arccos a (és ehhez a gyökérhez cos x \u003d a).

A koszinusz páros függvény, így a [-n; 0] a cos x = egyenletnek, és szintén csak egy gyöke van - az x 1-gyel ellentétes szám, azaz

x 2 = -arccos a.

Így a [-n; n] (2n hosszúság) a cos x = a egyenlet | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Az y = cos x függvény periodikus, 2n periódussal, tehát az összes többi gyök eltér a 2np által talált gyököktől (n € Z). A cos x = a mikor egyenlet gyökére a következő képletet kapjuk

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. A cosx = a egyenlet megoldásának sajátos esetei.

Hasznos megjegyezni a cos x = a mikor egyenlet gyökeinek speciális jelölését

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, amely könnyen beszerezhető az egységkör segítségével.

Mivel a koszinusz egyenlő az egységkör megfelelő pontjának abszcisszájával, akkor és csak akkor kapjuk meg, hogy cos x = 0, ha az egységkör megfelelő pontja A vagy B pont.

Hasonlóképpen cos x = 1 akkor és csak akkor, ha az egységkör megfelelő pontja a C pont, ezért

x = 2πp, k € Z.

Cos x \u003d -1 akkor és csak akkor, ha az egységkör megfelelő pontja a D pont, így x \u003d n + 2n,

Sin(x) egyenlet = a

Magyarázat és indoklás

1. A sinx = a egyenlet gyökei. Mikor | a | > 1 az egyenletnek nincs gyöke, mert | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 vagy a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

A trigonometrikus egyenletek megoldásának fő módszerei: egyenletek redukálása a legegyszerűbbekre (trigonometrikus képletek segítségével), új változók bevezetése, faktoring. Tekintsük példákkal az alkalmazásukat. Ügyeljen a trigonometrikus egyenletek megoldásának regisztrálására!

A trigonometrikus egyenletek sikeres megoldásának szükséges feltétele a trigonometrikus képletek ismerete (6. munka 13. témaköre).

Példák.

1. Egyenletek redukálása a legegyszerűbbre.

1) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás:

Válasz:

2) Keresse meg az egyenlet gyökereit!

(sinx + cosx) 2 = 1 – a szegmenshez tartozó sinxcosx.

Megoldás:

Válasz:

2. Másodfokú egyenletekre redukáló egyenletek.

1) Oldja meg a 2 sin 2 x - cosx -1 = 0 egyenletet.

Megoldás: A sin 2 x \u003d 1 - cos 2 x képlet segítségével megkapjuk

Válasz:

2) Oldja meg a cos 2x = 1 + 4 cosx egyenletet!

Megoldás: A cos 2x = 2 cos 2 x - 1 képlet segítségével azt kapjuk

Válasz:

3) Oldja meg a tgx - 2ctgx + 1 = 0 egyenletet

Megoldás:

Válasz:

3. Homogén egyenletek

1) Oldja meg a 2sinx - 3cosx = 0 egyenletet

Megoldás: Legyen cosx = 0, majd 2sinx = 0 és sinx = 0 - ez ellentmondás azzal a ténnyel, hogy sin 2 x + cos 2 x = 1. Tehát cosx ≠ 0, és az egyenletet oszthatja cosx-szel. Kap

Válasz:

2) Oldja meg az 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x egyenletet

Megoldás:

Az 1 = sin 2 x + cos 2 x és sin 2x = 2 sinxcosx képletekkel azt kapjuk, hogy

sin2x + cos2x + 7cos2x = 6sinxcosx
sin2x - 6sinxcosx+ 8cos2x = 0

Legyen cosx = 0, akkor sin 2 x = 0 és sinx = 0 - ez ellentmondás azzal a ténnyel, hogy sin 2 x + cos 2 x = 1.
Tehát cosx ≠ 0, és az egyenletet eloszthatjuk cos 2 x-szel . Kap

tg 2x – 6 tgx + 8 = 0
Jelölje tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2=2
a) tanx = 4, x = arctg4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctg2 + 2 k, k .

Válasz: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Formaegyenletek a sinx + b cosx = vele, vele≠ 0.

1) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás:

Válasz:

5. Faktorizációval megoldott egyenletek.

1) Oldja meg a sin2x - sinx = 0 egyenletet.

Az egyenlet gyöke f (x) = φ ( x) csak a 0 számként szolgálhat. Ellenőrizzük ezt:

cos 0 = 0 + 1 - az egyenlőség igaz.

A 0 szám az egyetlen gyöke ennek az egyenletnek.

Válasz: 0.

Problémájára részletes megoldást rendelhet!!!

Egy trigonometrikus függvény (`sin x, cos x, tg x` vagy `ctg x`) előjele alatt ismeretlent tartalmazó egyenlőséget trigonometrikus egyenletnek nevezünk, és a képleteiket a továbbiakban megvizsgáljuk.

A legegyszerűbb egyenletek a `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ahol `x` a keresendő szög, `a` tetszőleges szám. Írjuk fel mindegyikhez a gyökképleteket.

1. `sin x=a` egyenlet.

Az `|a|>1` esetén nincs megoldás.

`|a|-val A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.

Gyökképlet: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. "cos x=a" egyenlet

`|a|>1` esetén - mint a szinusz esetében, a valós számok között nincs megoldás.

`|a|-val A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.

Gyökképlet: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Szinusz és koszinusz speciális esetei grafikonokban.

3. "tg x=a" egyenlet

Végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.

Gyökérképlet: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` egyenlet

Ezenkívül végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.

Gyökérképlet: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

A táblázatban szereplő trigonometrikus egyenletek gyökereinek képletei

Szinusz esetén:
A koszinuszhoz:
Érintő és kotangens esetén:
Képletek inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek megoldására:

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei

Bármely trigonometrikus egyenlet megoldása két szakaszból áll:

• segítségével konvertálhatja a legegyszerűbbre;
• oldja meg a kapott egyszerű egyenletet a fenti képletekkel a gyökökhöz és a táblázatokhoz.

Tekintsük a fő megoldási módszereket példákon keresztül.

algebrai módszer.

Ebben a módszerben egy változó cseréje és egyenlőségre való behelyettesítése történik.

Példa. Oldja meg az egyenletet: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

cserélje ki: `cos(x+\frac \pi 6)=y, majd `2y^2-3y+1=0`,

megtaláljuk a gyökereket: `y_1=1, y_2=1/2`, amiből két eset következik:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Válasz: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizáció.

Példa. Oldja meg az egyenletet: `sin x+cos x=1`.

Megoldás. Mozgassa balra az egyenlőség minden tagját: `sin x+cos x-1=0`. Használatával a bal oldalt transzformáljuk és faktorizáljuk:

"sin x - 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0",

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Válasz: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukálás homogén egyenletre

Először is ezt a trigonometrikus egyenletet két alak egyikére kell hoznia:

`a sin x+b cos x=0` (elsőfokú homogén egyenlet) vagy `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (másodfokú homogén egyenlet).

Ezután ossza fel mindkét részt `cos x \ne 0` az első esetben, és `cos^2 x \ne 0` a második esetben. `tg x` egyenleteket kapunk: `a tg x+b=0` és `a tg^2 x + b tg x +c =0`, amelyeket ismert módszerekkel kell megoldani.

Példa. Oldja meg az egyenletet: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Megoldás. Írjuk a jobb oldalt a következőképpen: `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ez egy homogén, másodfokú trigonometrikus egyenlet, amelynek bal és jobb oldalát elosztjuk `cos^2 x \ne 0`-val, így kapjuk:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

"tg^2 x+tg x - 2=0". Vezessük be a `tg x=t` helyettesítést, ennek eredményeként `t^2 + t - 2=0`. Ennek az egyenletnek a gyöke: `t_1=-2` és `t_2=1`. Akkor:

1. „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Válasz. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Menj a Félsarokhoz

Példa. Oldja meg az egyenletet: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Megoldás. A kettős szögképleteket alkalmazva az eredmény: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

"4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0".

A fent leírt algebrai módszert alkalmazva a következőket kapjuk:

1. „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
2. „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.

Válasz. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Segédszög bevezetése

Az `a sin x + b cos x =c` trigonometrikus egyenletben, ahol a,b,c együtthatók, x pedig változó, mindkét részt elosztjuk `sqrt (a^2+b^2)-vel:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))".

A bal oldali együtthatók szinusz és koszinusz tulajdonságaival rendelkeznek, vagyis négyzetük összege 1, modulusuk pedig nem nagyobb 1-nél. Jelölje őket a következőképpen: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, akkor:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Nézzük meg közelebbről a következő példát:

Példa. Oldja meg az egyenletet: `3 sin x+4 cos x=2`.

Megoldás. Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk `sqrt (3^2+4^2)-vel, a következőt kapjuk:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".

Jelölje `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Mivel a `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, a `\varphi=arcsin 4/5`-t vesszük segédszögnek. Ezután az egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

A szinusz szögösszegének képletét alkalmazva egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:

"sin(x+\varphi)=2/5",

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Válasz. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Tört-racionális trigonometrikus egyenletek

Ezek tört egyenlőségek, amelyek számlálóiban és nevezőiben trigonometrikus függvények találhatók.

Példa. Oldja meg az egyenletet. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Megoldás. Szorozd meg és oszd el az egyenlet jobb oldalát "(1+cos x)"-vel. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

"\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0".

Tekintettel arra, hogy a nevező nem lehet nulla, a következőt kapjuk: `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Egyenlítse a tört számlálóját nullával: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Ezután `sin x=0` vagy `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Tekintettel arra, hogy ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, a megoldások: `x=2\pi n, n \in Z` és `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Válasz. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

A trigonometriát és különösen a trigonometrikus egyenleteket a geometria, a fizika és a mérnöki tudomány szinte minden területén használják. A tanulás a 10. osztályban kezdődik, a vizsgára mindig vannak feladatok, ezért próbálja meg megjegyezni a trigonometrikus egyenletek összes képletét - ezek biztosan jól jönnek!

Azonban még csak memorizálni sem kell őket, a lényeg, hogy megértsük a lényeget, és tudjunk következtetni. Nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik. Győződjön meg Ön is a videó megtekintésével.

A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a sikeres matematika vizsga 60-65 ponttal történő letételéhez szükséges. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem tud meglenni.

Minden szükséges elmélet. Gyors módszerek a vizsga megoldásai, csapdái és titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz vizsgafeladat. Szövegfeladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli képzelőerő fejlesztése. Trigonometria a semmiből - a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. A 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásának alapja.

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Abban az esetben, ha ez szükséges – a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján – adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.